40 Дифференциал функции.

Пусть функция y = f(x) имеет конечную производную в точке х: , то

, где 0, при х0. f(x)x- линейная часть приращения и называется дифференциалом функции и обозначается dy df(x). dy = f(x)dx. Можно также записать:

Применение дифференциала к приближенным вычислениям.

Дифференциал функ. y = f(x) зависит от х и явл. главной частью приращения х.

Приращение ∆у функ. у=ƒ(х) в точке х можно представить в виде ∆у=ƒ'(х)•∆х+α•∆х, где α→0 при ∆х→0, или ∆у=dy+α•∆х. Отбрасывая бесконечно малую α•∆х более высокого порядка, чем ∆х, получаем приближенное равенство

∆у≈dy, ƒ(х+∆х) ≈ ƒ(х)+ƒ'(х) ∆х причем это равенство тем точнее, чем меньше ∆х.

Это равенство позволяет с большой точностью вычислить приближенно приращение любой дифференцируемой функ.

Дифференциал обычно находится значительно проще, чем приращение функ., поэтому формула широко применяется в вычислительной практике.

41. Производные и дифференциалы высших порядков

: Производная второго порядка называется производная производной данной функции:

Определение: Производная n-го порядка называется производной производной n-1-го порядка.

Используя метод математической индукции несложно показать, что:

1). n-ая производная обладает свойством линейности, т.е.:

2).

3).

4).

5).

6).

y= f(x)

f (x)= = (x)

(x) = /

(x)= (f (x)) =f (x)

f = df/dx f =d²f/dx²

Можно определить производную любого порядка.

d² y ⁼ d(dy)=d(f (x)* dx)

dy=y (x)*dx

d² y= f (x)* dx²

dⁿ y=f(x) ⁿ *(dx)ⁿ

42)Стационарные точки.

Стационарная точка (или кривая), точка (кривая), в которой дифференциал функции (вариация функционала) обращается в нуль. Для функции одного переменного у = f (x) касательная в Стационарная точка к графику функции параллельна оси Ох, касательная плоскость к поверхности Z = f (x, у) в Стационарная точка функции двух переменных f (x, у) параллельна плоскости хОу.

2)Теорема Ферма и Ролля.

Ферма: Пусть y=f(x) дифференцируется на некотором множестве X.

Пусть некоторая точка этого множества в некоторой точке этого множества функ. достигает своего наибольшего или наименьшего значения, тогда производная в этой точке = 0.

Ролля: Теорема Ро́лля утверждает, что если функ., имеющая производную на интервале, принимает в его концах равные значения, то её производная обращается в нуль в некоторой точке внутри интервала.

Пусть 1)y=f(x) определена и непрерывна на интервале

2)”y” дифференцируема по крайней мере на

3)в концах отрезка f принимает одинаковое значение f(a)=f(b).

Тогда сущ. по крайней мере одна внутренняя точка, где производная =0.

Теорема Лагранжа.

1.y=f(x) определена и непрерывна на .

2.y=f(x) дифференцируема по крайней мере на (a,b).

Тогда сущ. по крайней мере одна точка z где производная равна

.

43) Правило Лопиталя. Пусть функ. f(x) и g(x) дифференцируемы в некоторой окрестности точки a, за исключением, быть может, самой точки a, и пусть   или  . Тогда, если сущ. предел отношения производных этих функ.  , то сущ. и предел отношения самих функ. f(x)/g(x) при x→а, причем

Коротко правило Лопиталя можно сф ормулировать след. образом: предел отношения двух бесконечно малых или двух бесконечно больших величин равен пределу отношения их производных. Теорема Лагранжа

Если функ. f(x) непрерывна на замкнутом отрезке [a, b], дифференцируема внутри него, то сущ.такая точка с Î (a, b), что выполняется равенство f(b)−f(a)=f'(c)·(b−a). Доказательство.Составим урав.хорды,проходящей через точки(a,f(a)),(b,f(b)) y=f(a)+Q·(x-a),где есть угловой коэффициент хорды.Рассмотрим разность ординат функ.и хорды F(x)=f(x)−f(a)−Q·(x−a). Очевидно, что функ. F(x) удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля. Поэтому на интервале (a, b) найдётся такая точка с, для которой F ' (c) = 0. То естьF'(c)=f'(c)−Q=0.Откуда следует . И,наконец,f(b)−f(a)=f'(c)·(b−a).