37)Определение Производной
Производной
ф-ции
y=f(x)
в тч. Х0
наз. предел отношения приращения этой
ф-ции к приращению аргумента , когда
последнее стремится к нулю. если он сущ.
Формула
выражает геометрический
смысл производной:
производная
от данной ф. в данной точке = tg
угла наклона касательной графика ф-ции
в этой тчк.
у
f(x)
f(x0 +x) P
f
f(x0) M
0 x0 x0 + x x
Пусть
f(x)
определена на некотором промежутке (a,
b).
Тогда
тангенс угла наклона секущей МР к графику
функ.
,
где
- угол наклона касательной к графику
функ. f(x)
в точке (x0,
f(x0)).
Угол между кривыми может быть определен
как угол между касательными, проведенными
к этим кривым в какой- либо точке.
Уравнение
касательной к кривой:
Уравнение
нормали к кривой:
.
Фактически производная функ. показывает как бы скорость изменения функ., как изменяется функ. при изменении переменной. Физический смысл производной функ. f(t), где t- время, а f(t)- закон движения (изменения координат) – мгновенная скорость движения. Соотв., вторая производная функ.- скорость изменения скорости, т.е. ускорение.
экономический
смысл производной.
Пусть y(x) – ф-ция, характеризующая, напр.,
издержки производства, где x – колич.
выпускаемой продукции. Тогда отношение
описывает
средние издержки, приходящиеся на одно
изделие. Средняя величина обозначается
Ay или Af. Среднее приращение, средний
прирост, средняя скорость изменения
определяется отношением
.
Производная
выражает предельные издержки производства.
Величину Mf(x) = y' наз. мгновенным приростом
или мгновенной скоростью изменения y.
Аналогично можно определ. предельную
выручку, предельный доход, предельную
полезность и др. предельные величины.
38)Правила
дифференцирования:
Обозначим f(x)
= u,
g(x)
= v-
функ., дифференцируемые в точке
х.1.Производная
сум.(разности) двух дифференц-ых ф-ций
=сумме(разности) производных этих
ф-ций
2.Производная
произведения двух диффиренц-ых ф-ций =
произведению первой ф-ции на производную
второй + произведение второй ф-ции на
производную первой:
3.Производная
частного двух
дифференц-ых
ф-ций определ. формулой:
где
Производная
сложной функции и обратной функций
Производная
сложной ф.: Если
и
-дифференцируемые
ф. своих аргументов, то производная
сложной ф.
сущ. и равна произведению производной
этой ф-ции по промежуточному аргументу
на производную промежуточного по
независимой переменной, т.е.
,
.
Производная
обратной
ф.: Если y=f(x)
и
-
взимнообратые дифференцируемые ф-ции
и
,то
Действительно,
т.к.
,то
39)Производные основных элементарных функций.
1)С
= 0; 9)
2)(xа)
= аxа-1;
10)
3)
11)
4)
12)
5)
13)
6)
14)
7)
15)
8)
16)