Найти пределы функций, используя замечательные пределы

;	;	;	;	;
;	;	;	;	.

Ответы:

0,2;

;

;

;

1;

;

;

;

;

.

Исследовать функции на непрерывность

Найти точки разрыва функции

Решение:

Подозрительными на разрыв являются точки и решение уравнения , т.е.

т.е. – разрыв 2 рода;

т.е. – разрыв 1 рода.

Найти односторонние пределы

Ответы:

0		1	0
		1	-1
	0

Найти точки разрыва функции

Ответ: – разрыв 1 рода;

– разрыв 2 рода.

При каком значении будет непрерывной функция

Решение:

Следует принять

Элементы дифференциального исчисления

Практическое занятие 3. Дифференцирование функций одной переменной.

Вычисления производных элементарных функций

Используя таблицу производных и правила дифференцирования, найти производные функций

1. 

Ответ:

2. 

Ответ:

3. 

Ответ:

4. 

Ответ:

5. 

Ответ:

Логарифмическое дифференцирование

Для функций, представляющих собой громоздкие произведения и частные различных степенных выражений, удобно, а для показательно-степенных функций, где от переменного зависят как основание степени, так и ее показатель, – необходимо применять метод логарифмического дифференцирования, который основан на соотношении.

.

Пример. Найти производную функции:

Решение:

Найти производные функций методом логарифмического дифференцирования

Ответы:

;	;
;	.

Найти производные порядка

Если и - функции, имеющие производные порядка , то

;

- формула Лейбница.

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. .

Составить уравнения касательных и нормалей к кривым

Уравнение касательной к кривой в точке имеет вид

, а уравнение нормали –

в точке

Касательная

Нормаль

в точке

в точке

в точке

в точке

в точке

Найти дифференциалы функций

Если и дифференцируемые функции от

;	;
;	;
;	.

Вычислить приближенно

;	;
;	;
при	при
при	при

Вычислить пределы с использованием правила Лопиталя

;	;
;	;
;	;
;	;
;	;
;	;
;	;
;	;
;	;
;	.