Практическое занятие 4. Исследование функций одной переменной.

Найти асимптоты кривой

Решение:

вертикальная асимптота

наклонная асимптота при

Исследовать функцию и построить график:

Пример. План исследования функции и построения ее графика рассмотрим на примере функции .

I. Область определения X = R.

Функция не является периодической.

функция четная

II. асимптота, причем,

Так как y(x)+ при x+ и y- при x-, то возможно существование наклонных асимптот (негоризонтальных).

кроме горизонтальной асимптоты наклонных асимптот нет

III. Найти локальные экстремумы функции

;

Из уравнения находим стационарные точки при x = 1 и x = –1

IV. Найти точки перегиба функции

при , и (точки перегиба)

при - максимум; при – минимум

V. Строим таблицу, в которой выделены промежутки однообразного поведения функции и ее характерные точки.

x	( 	–	– )	–1	(–1;0)	0
y'(x)	–	–	–	0	+	+
y''(x)	–	0	+	+	+	0
				min
		точка пере-гиба				точка пере-гиба

x	0	(0;1)	1	1; )		( ;
y'(x)	+	+	0	–	–	–
y''(x)	0	–	–	–	0	+
			max
	точка пере-гиба				точка пере-гиба

Построить графики функций:

Формула Тейлора

1. Используя основные разложения, представить функцию формулой Тейлора порядка в окрестности точки а.

;	;
;	;
;	;
;	;

7. Представить формулой Тейлора порядка в окрестности точки функцию , заданную неявно условиями:

17. ;

18. ;

19. ;

20. .

8. Вычислить пределы

;	;
;	.

2Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных.

Практическое занятие 5. Дифференцирование функций одной переменной.

Найти частные и полное приращения функции в точке

1. 

Ответ:

2. 

Ответ:

3. 

Ответ:

4. 

Ответ:

Найти предел функции в точке

Ответ:

Ответ:

Найти частные производные функций

Ответы:

5. 

6. 

Найти производную функции, заданной неявно

Ответы:

Полный дифференциал функции

Вычислить приближенно:

Ответы:

Найти полный дифференциал функции

Ответы:

Производные и дифференциалы высших порядков

Для функции найти

Ответ:

; ;

Найти для функции

Ответы:

1. 

2. 

Найти

	для функции	Ответ:
	для функции	Ответ:
	для функции	Ответ:

Найти дифференциалы

	если	Ответ:
	если	Ответ:
	если	Ответ:

Написать уравнение касательной плоскости и нормали

1. К параболоиду в точке

2. К поверхности в точке

Ответы:

– касательная – нормаль

– касательная – нормаль

3Экстремумы функций нескольких переменных.

Исследовать на экстремум функцию

Ответы:

	Экстремумов нет
	;
Экстремумов нет

Найти условный экстремум функции

при условии, что	Ответ:
при условии, что	Ответ:

Найти наибольшее и наименьшее значения функции

1. в области, ограниченной линиями ; ;

Ответ:

2. в области, ограниченной линиями ; ;

Ответ:

3. в области, ограниченной линиями ; ;

Ответ:

4Элементы интегрального исчисления (неопределенные интегралы)

Таблица простейших неопределенных интегралов.

;	;
;	;
;	;
;	;
;	;