Обобщенный закон Ньютона.

Ньютон установил связь напряжения трения между слоями движущейся жидкости с поперечным градиентом скорости тау=мю*(дельV/дельn) [мю]=Н*с/м^2 мю – коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом динамической вязкости. ню=мю/ро=[м^2/с]- коэффициент кинематической вязкости Касательное трение при движении потока вдоль оси х может быть записано в виде: тау=мю*(дельu/дельy) При движении потока вдоль оси у: тау=мю*(дельv/дельx) При движении потока в плоскости ху в произвольном направлении: Pxy=Pyx=мю*((дельu/дельy)+(дельv/дельx)) Pxz=Pzx=мю*((дельu/дельz)+ (дельw/дельx)) Pyz=Pzy=мю*((дельv/дельx)+ (дельw/дельy)) Записанные уравнения выражают обобщенный закон Ньютона для касательных напряжений. В скобках стоят величины, связанные с недиагональными компонентами тензора скоростей деформации. Они выражают скорости скашивания углов в соответствующих плоскостях. Таким образом касательные напряжения являются линейными функциями от скоростей скашивания углов в соответствующих плоскостях. Определим нормальное напряжение вязкой жидкости. Если вязкость отсутствует, то нормальное напряжение не зависит от выбора направления площадки. Нормальные напряжения вязкой жидкости выразим в виде суммы: Pxx=A+тау(xx) Pyy=A+тау(yy) Pzz=A+тау(zz) Компоненты, учитывающие вязкость связаны с диагональными компонентами тензора скоростей деформации соотношениями: тау(xx)=2мю*(дельu/дельx) Pxx=A+2мю*(дельu/дельx) тау(yy)=2мю*(дельv/дельy) Pyy=A+2мю*(дельv/дельy) тау(zz)=2мю*(дельw/дельz) Pzz=A+2мю*(дельw/дельz) Сложим: 1/3(Pxx+Pyy+Pzz)=A+(2/3)*мю*((дельu/дельx)+(дельv/дельy)+(дельw/дельz)) Среднее арифметическое нормальных напряжений, приложенных в точке в трех взаимно перпендикулярных направлениях, есть давление потока в этой точке: A=-P-(2/3)*мю*divV Pxx=-P+2*мю*(дельu/дельx)-(2/3)*мю*divV Pyy=-P+2*мю*(дельv/дельy)-(2/3)*мю*divV Pzz=-P+2*мю*(дельw/дельz)-(2/3)*мю*divV -обобщенный закон Ньютона для нормальных напряжений Жидкости, которые подчиняются записанным уравнениям называются ньютоновскими жидкостями. Вязкие растворы, не подчиняющиеся уравнениям называются неньютоновскими, а раздел их изучающий – реология(наука о вязком трении).

Уравнения движения сжимаемых и несжимаемых жидкостей и газов.

ро*(dw(x)/dтау)=F(x)+(дель/дельx)*(-P+2*мю*(дельw(x)/дельx)-(2/3)*мю*divw)+(дель/дельy)*[мю*((дельw(x)/дельy)+(дельw(y)/дельx))]+(дель/дельz)*[мю*((дельw(x)/дельz)+(дельw(z)/дельx))] ро*(dw(x)/dтау)=F(x)-(дельP/дельx)+2*(дель/дельx)*(мю*(дельw(x)/дельx))+(дель/дельy)*[мю*((дельw(x)/дельy)+(дельw(y)/дельx))]+(дель/дельz)*[мю*((дельw(x)/дельz)+(дельw(z)/дельx))]-(2/3)*(дель/дельx)*(мю*div*w) ро*(dw(y)/dтау)=F(y)-(дельP/дельy)+(дель/дельx)*[мю*((дельw(y)/дельx)+(дельw(x)/дельy))]+2*(дель/дельy)*(мю*(дельw(y)/дельy))+дель/дельz*[мю*((дельw(y)/дельz)+(дельw(z)/дельy))]-(2/3)*(дель/дельy)*(мю*divw) - уравнение движения сжимаемых и несжимаемых жидкостей и газов. (дель ро/дель тау)+div(ро*w)=0 divw=0 ро*(dw(x)/dтау)=ро*F(x)-(дельP/дельx)+мю*((дель^2w(x)/дельx^2)+(дель^2w(x)/дельy^2)+(дель^2w(x)/дельz^2))+мю*(дель/дельx)*((дельw(x)/дельx)+(дельw(y)/дельy)+(дельw(z)/дельz)) (dw(x)/dтау)=F(x)-(1/ро)*(дельP/дельx)+ню*обратная дельта^2*w(x) (dw(y)/dтау)=F(y)-(1/ро)*(дельP/дельy)+ню*обратная дельта^2*w(y) (dw(z)/dтау)=F(z)-(1/ро)*(дельP/дельz)+ню*обратная дельта^2*w(z) dw/dтау=F-(1/ро)*gradP+ню*обратная дельта^2*w - уравнения Навье-Стокса Полученная система может быть использована для решения бесконечного количества задач. Для перехода к конкретной задаче и ее решения, задачу необходимо описать с помощью условий однозначности. Условия однозначности состоят из четырех видов: 1)геометрические условия – задается геометрия изучаемой системы (канала и т.д.) 2)физические условия однозначности – задается вид движения жидкости и значения ее основных параметров: ро, мю, ню 3)граничные условия – определяют условия течения на границе рассматриваемой системы. Часто в качестве граничных условий используют условия прилипания потока, т.е. скорость потока на поверхности равна 0. Скорость набегающего потока задаетсяV(бесконечность)или среднемассовая скоростьu(ср.) или скорость на границе пограничного слоя. 4)Временные или начальные граничные условия задаются только для нестационарных задач и определяют особенности течения потока в начальный момент времени.

Два режима движения несжимаемой жидкости. Число Рейнольдса. При низких скоростях потока отмечается, что отдельные частицы или струйки жидкости движутся по плавным непересекающимся траекториям. Такое течение называется ламинарным, что означает слоистое. При увеличении скорости потока траектории отдельных струек приобретают волнообразный характер и через некоторое время струйка исчезает, перемешиваясь с жидкостью. Характер течения при этом изменился. Траектории отдельных частиц приобретают хаотичный неустановившийся характер. Такое течение называется турбулентным – хаотичным, вихревым. Рейнольдс установил, что смена режима происходит при значенииRe(кр.)=2300. Причина перехода обусловлена влиянием возмущений, исходящих от стенок или вносимых в поток извне. Установлено, что если ликвидировать возмущение, т.е. отполировать тубу, сделать плавный вход потока в канал, то границу перехода можно значительно переместить в область более высокихRe(кр.). При Re(кр.)<2000любые возмущения гаснут, следовательноRe(кр.)=2000- нижняя граница значения области перехода. Смена режима происходит не сразу: сначала в потоке возникают отдельные очаги турбулентного движения, которые появляются и исчезают. Такое явление называют перемежаемостью: гамма=тау(т)/тау(общ.) тау(т) – время существования турбулентного пятна тау(общ.) – общее время наблюдения гамма =0 – ламинарное гамма =1 – турбулентное 0<гамма<1 – переход Переход ламинарного движения в турбулентное имеет очень большое практическое значение, т.к. определяет условия теплообмена, сопротивления потока, перемешивания жидкостей.