2.2. Общая формула для теплоемкостей однородных систем.

Получим формулу справедливую для любого газа (идеального и реального) и любого процесса.

Для простоты вывода рассмотрим массовую (удельную) теплоемкость то есть рассматривая термодеформационную сестему.

Из 1-ого начала термодинамики для термодеформационных системы имеем dQ = dU + p dv.

Как известно, внутренняя энергия является функцией состояния, а дифференциал функции состояния это всегда полный дифференциал.

Любую функцию состояния можно выразить через различные сочетания термодинамических параметров состояния

Пусть U=U(T,v), по правилам математики для полного дифференциала функции нескольких переменных можно записать:

, таким образом, для определения теплоемкости получаем следующую систему уравнений:

_{Решая эту сестему методом подстановки, получим:}

(60)

Для изохорного процесса (v=const) из формулы следует

(61)

Формула (61) для массовой изохорной теплоемкости справедлива как для идеального газа, так и для реального.

Продолжим преобразовывать формулу (60), для чего найдем значение частной производной из 1 начала термодинамики для термодеформационной системы.

dU = TdS – p dv (28)

как известно, относится к третьему типу деформационных соотношений.

тогда после подстановки получим:

Окончательно:

(62)

Формула (62) называется общей формулой для теплоёмкостей однородных систем (для идеального и реального газа).

Из полученной формулы можно найти значения для теплоёмкости, т.е. для изопроцессов и политропных процессов.

Например, массовая изобарная теплоёмкость любого газа запишется

(63)

Для политропного процесса уравнение приобретает следующий вид:

2.3. Теплоёмкость идеального газа.

Для того чтобы воспользоваться формулами (63,64) найдем значения входящих в них частных производных из уравнения Менделеева-Клапейрона.

Pv=RT

Продифференцируем это уравнение

p dv + v dp = R dT, откуда имеем

(65)

(66)

В предыдущем параграфе было получено

- справедливо для реального и идеального газа. Подставим в это выражение значение для идеального газа:

(67)

Таким образом, внутренняя энергия идеального газа от величины объёма не зависит, т.е. UU(v).

Исследуем вопрос зависимости внутренней энергии идеального газа от величины давления.

, где - изотермическая сжимаемость, которая является конечной величиной, т.е. .

(68)

Из (68) следует, что U≠U(P)

Таким образом, внутренняя энергия идеального газа не зависит от величины давления, следовательно, внутренняя энергия идеального газа зависит только от температуры газа.

Внутренняя энергия- это функция состояния, поэтому dU- дифференциал функции состояния. Любая функция состояния может быть выражена через любое сочетание термодинамических параметров состояния системы.

Внутренняя энергия может быть выражена как U=U(T,v), по правилам математики полный дифференциал функции двух переменных запишется следующим образом:

(69)

(61)

Так как таким образом, для идеального газа получаем

dU = c_v dT откуда

(70)

Для идеального газа полная производная изменения внутренней энергии определяется

Для того чтобы взять интеграл нужна связь между Cv и Т.

Если в диапазоне температур T₁ и T₂, c_v взять средним значением, то U = (T₂-T₁) (72)

А абсолютное значение запишется:

(73)

где U₀ – постоянная интегрирования.

Массовая изобарная теплоёмкость идеального газа определяется из формулы (63) , из формул (65,66) частные производные:

(65)

(66)

После подстановки (65,66) в (63) получим

_{Окончательно:}

(74)

Формула (74)- уравнение Майера.

Из этой формулы следует, что массовая изобарная теплоёмкость больше на величину удельной газовой постоянной (R) массовой изохорной теплоёмкости идеального газа.

В случае мольных теплоёмкостей уравнение Майера запишется в виде:

(75)

где R_ = 8314

из формулы (75) следует, что молярная изобарная теплоемкость больше молярной изохорной теплоемкости на величину универсальной газовой постоянной.

Обозначим через (76)

K- Показатель адиабаты (коэффициент Пуассона).

K, показывает во сколько раз изобарная теплоемкость больше изохорной.

Так как по уравнению Майера изобарная теплоемкость всегда больше изохорной, то K всегда больше единицы (K>1).

Как показали эксперименты, с ростом температуры показатель адиабаты слабо убывает поэтому в инженерных расчетах показатель адиабаты берут в среднем значении так для двухатомных газов, включая воздух который на 79% состоит из N2 и примерно на 21% из О2, берется значение K1,4.