Признак делимости Паскаля. Признак делимости на 6, 7 и 8.
Общий вид. Пусть натуральное число А записываемое в десятичной системе счисления как , где - единицы, - десятки и т.д.
Пусть m – произвольное натуральное число, на которое мы хотим делить и выводить признак делимости на него. Находим ряд остатков по следующей схеме:
- остаток от деления 10 на m, - остаток от деления на m,
- остаток от деления на m, …, - остаток от деления на m
Формально
Так как остатков конечное число (а именно m), то этот процесс зациклится (не позже, чем через m шагов) и дальше можно его не продолжать. Начиная с некоторого , где р – получившийся период последовательности . Для единообразия можно принять, что . Тогда А имеет тот же остаток от деления на m, что и число
Док-во. Пользуясь тем, что в алгебраическом выражении по модулю m можно заменять числа их остатками от деления на m, получаем
Признак делимости на 6
На 6 делятся те натуральные числа, которые делятся на 2 и на 3 одновременно (все четные числа, которые делятся на 3). Например: 126 (б — четное, 1 + 2 + 6 = 9, 9 : 3 = 3).
Другой признак делимости: число делится на 6 тогда и только тогда, когда учетверённое число десятков, сложенное с числом единиц делится на 6.
Соответствующая
признаку функция:
Признак делимости на 7
Здесь
m=7.
Находим остатки. 1.
2.
3.
4.
5.
6.
,
цикл замкнулся.
Следовательно,
для любого числа
его остаток от деления на 7 равен
Пример Рассмотрим число 48916. По доказанному выше,
48916=6+3*1+2*9+6*8+4*4=6+3+18+48+16=91
0(mod7)
а
значит, 48916 делится на 7.
Признак делимости на 8
Общепринятый признак делимости на 8 выглядит так: число делится на 8 в том и только в том случае, если его последние три цифры образуют число, делящееся на 8.
Трёхзначное число делится на 8 тогда и только тогда, когда число единиц, сложенное с удвоенным числом десятков и учетверённым числом сотен, делится на 8. Например, 952 делится на 8 т.к. на 8 делится 9*4+5*2+2=48.
Соответствующая признаку функция:
Признак делимости Паскаля. Признак делимости на 9 и 11.
Общий вид. Пусть натуральное число А записываемое в десятичной системе счисления как , где - единицы, - десятки и т.д.
Пусть m – произвольное натуральное число, на которое мы хотим делить и выводить признак делимости на него. Находим ряд остатков по следующей схеме:
- остаток от деления 10 на m, - остаток от деления на m,
- остаток от деления на m, …, - остаток от деления на m
Формально
Так как остатков конечное число (а именно m), то этот процесс зациклится (не позже, чем через m шагов) и дальше можно его не продолжать. Начиная с некоторого , где р – получившийся период последовательности . Для единообразия можно принять, что . Тогда А имеет тот же остаток от деления на m, что и число
Док-во. Пользуясь тем, что в алгебраическом выражении по модулю m можно заменять числа их остатками от деления на m, получаем
Признак делимости на 9
Здесь
m=9.
Так как
(остаток
от деления 10 на 9 равен 1), то все
.
Значит, остаток
от деления числа на 9 равен остатку от
деления суммы его цифр на 9,
или иначе: число
делится на 9, если сумма его цифр делится
на 9.
Признак делимости на 11
Здесь
m=11.
Так как
,
то все
а
.
Отсюда можно получить простой признак
делимости на 11: остаток от деления числа
на 11 равен остатку от деления его суммы
цифр, где каждая нечетная (начиная с
единиц) цифра взята со знаком «-», на 11.
Проще говоря: если разбить все цифры числа на 2 группы – через одну цифру (в одну группу попадут все цифры с нечетными позициями, в другую – с четными), сложить все цифры в каждой группе и вычесть две полученные суммы друг из друга, то остаток от деления на 11 результата будет такой же, что и у первоначального числа.