9. Теорема о делимости натуральных чисел, разложенных на простые множители.

Теорема: Пусть n=p₁^α1∙ p₂^α2∙ ….∙ p_s^αs – каноническое разложение числа n, n δ  δ= p₁^β1∙ p₂^β2∙ ….∙ p_s^βs , где 0≤β_i≤α (*).

Доказательство: n δ => n=δ∙q => простые делители δ входят в каноническое разложение числа n с показателем, не меньшим тех, с которыми они входят в каноническое разложение числа δ. Поэтому δ имеет вид (*)

δ= p₁^β1∙ p₂^β2∙ ….∙ p_s^βs

0≤β_i≤α_i (*)

В обратную сторону, каждое δ вида (*) делит n.

10. Кольцо целых гауссовых чисел . Норма целого гауссового числа и ее свойства. Пифагоровы числа.

О пределение: Целым гауссовым числом наз. комплексное число a+bi, где а,в – целые числа.

Теорема: <Z[i],+,∙> - коммутативное кольцо с 1. Док-во: 1) сложение и умножение – бинарные алгебраические операции. 2) <Z[i],+> - абелева группа: 1. ассоциативность (следует из ассоциативности сложения в цепи). А=bq+r 0≤r<|b| α=a+bi N(α)=a²+b²

Определение: Нормой числа α=a+bi из Z[i] наз. N(α)=a²+b².

Св-ва нормы: N(α)≥0 N(α)= α . Док-во: α=a+bi α = (a+bi) (a–bi)= a²+b² N(α)= N( )

Св-во мультипликативности нормы: N(α∙β)= N(α)∙ N(β). Док-во: α=a+bi β =с+di

α∙β=(ac–bd)+(ad+bc)i N(α∙β) =(ac–bd)²+(ad+bc)²=a²c²–2abcd+b²d²+

+a²d²+2abcd+b²c²= a²c²+a²d²+b²d²+b2c²= a²(c²+d²)+b²(d²+c²)=

=(d²+c²)(a²+b²)= (a²+b²)(c²+d²)=N(α)∙ N(β)

Замечание1: Если каждое из двух чисел - сумма двух квадратов, то их произведение также может быть записано, как сумма двух квадратов.

5= 1²+2² 13= 2²+3² 5∙13=65=4²+7² либо 65=1²+8²

Замечание2: N(α²)= N(α)² a²+b²=c²

Пифагоровыми числами называются такие натуральные числа а, b, с, что a²+b²=c².

11. Теорема о делении с остатком в кольце целых гауссовых чисел. Делители единицы (единицы) в кольце .

Т: Пусть α, β Z[i], β 0, тогда целые гауссовы числа , Z[i], что

Док-во: Рассмотрим . Выберем m, n Z: |a–m| , |a–n| , :=m+ni,

:= , , ,

Делители единицы

Опр. Делитель единицы : такое, что 3 не является делителем единицы в Z.

Теорема. Делителями единицы в кольце z[i] явл те, норма кот = 1.

Док-во:

Следствие. В кольце Z[i] только 4 делителя единицы: +–1, +–i

Док-во:

N( )=1, a²+b²=1, a=1, b=0, a=–1,b=0, a=0, b=1, a=0, b=–i

12. Делимость целых гауссовых чисел.

Целое гауссово число π наз простым г.ч, если в любом его представлении в виде либо либо явл делителями1.

Целое число наз простым г.ч, если его не можно представить в виде , где норма каждого больше 1. N(α)>1, N(β)>1.

Основная теорема:

Всякое целое г.ч. α 0 разложимо в произведение простых чисел , все эти числа не обязательно различны и такое разложение единственное.

Если не однозначно t=k делители единицы, одинаковые разложения

Док-во проводим индукцией по норме n. База: n=1, то -делитель 1, разложение возможно с кол-вом множителей, равным 0. Посылка: считаем, что для всех гауссовых чисел с утверждение верно. Берем (возможны 2 случая)

1: - простое г., число множителей равно 1.

2: не является простым гауссовым, тогда его можно представить в виде произведения , . Возвращаемся к предположению индукции док существование разложения.

Однозначность: предпол, есть еще одно разлож, если левые части равны, то равны и правые части . Может так4 случиться, что каждое из взаимно просто с

, но этого может и не быть, значит, t–1=k–1 t=k

Пример: явл ли простым гауссовым числом?

, 10=2*5, N(1+i)=2, N(1-2i)=5

,