10.Работа кулоновского поля. Потенциальная энергия заряда в кулоновском поле, потенциал, его связь с напряженностью.

В соответствии с законом Кулона напряженность электростатического поля, создаваемого точечным зарядом Q на расстоянии r от него, равна по модулю. Это поле называется кулоновским. В кулоновском поле направление вектора зависит от знака заряда Q: если Q > 0, то вектор направлен по радиусу от заряда, если Q < 0, то вектор направлен к заряду. Внутри источника тока заряды движутся под действием сторонних сил против кулоновских сил (электроны от положительно заряженного электрода к отрицательному).

Работа кулоновских сил при перемещении заряда q зависит только от расстояний

r1 и r2 начальной и конечной точек траектории

Потенциальная энергия заряда q, помещенного в любую точку (1) пространства, относительно фиксированной точки (0) равна работе A10, которую совершит электростатическое поле при перемещении заряда q из точки (1) в точку (0):

Wp1 = A10. (В электростатике энергию принято обозначать буквой W, так как буквой E обозначают напряженность поля.). Кулоновский потенциал - электростатический потенциал одного точечного заряда (или нескольких точечных зарядов, полученный сложением кулоновского потенциала каждого из них). Также под кулоновским могут понимать потенциал любой природы (то есть не обязательно электрический), который имеет зависимость от расстояния 1/r (например, гравитационный потенциал в теории тяготения Ньютона). Формула электростатического потенциала (кулоновского потенциала) точечного заряда: где K - коэффициент, зависящий от системы единиц , q — величина заряда, r — расстояние от заряда-источника до точки, для которой рассчитывается потенциал).

Это соотношение в скалярной форме выражает связь между напряженностью поля и потенциалом. l – координата вдоль силовой линии -потенциал.

8. Теорема о циркуляции вектора магнитной индукции в вакууме. Магнитное поле длинного прямого провода

Введем, аналогично циркуляции вектора напряженности электростатического поля, циркуляцию вектора магнитной индукции. Циркуляцией вектора В по заданному замкнутому контуру называется интеграл

где dl — вектор элементарной длины контура, который направлен вдоль обхода контура, Bl=Bcosα — составляющая вектора В в направлении касательной к контуру (с учетом выбора направления обхода контура), α — угол между векторами В и dl.

Закон полного тока для магнитного поля в вакууме (теорема о циркуляции вектора В): циркуляция вектора В по произвольному замкнутому контуру равна произведению магнитной постоянной μ0 на алгебраическую сумму токов, охватываемых этим контуром:

(1)

где n — число проводников с токами, которые охватываются контуром L любой формы. Каждый ток в уравнении (1) учитывается столько раз, сколько раз он охватывается контуром. Ток считается положительным, если его направление образует с направлением обхода по контуру правовинтовую систему; отрицательным считается ток противоположного направления.

Рис.1

Например, для системы токов, изображенных на рис. 1,

Выражение (1) выполняется только для поля в вакууме, поскольку, как будет показано дальше, для поля в веществе нужно учитывать молекулярные токи.

Рис.2

Продемонстрируем справедливость теоремы о циркуляции вектора В на примере магнитного поля прямого тока I, который перпендикулярен плоскости чертежа и направлен к нам (рис. 2). Возьмем в качестве контура окружность радиуса r. В каждой точке этого контура вектор В одинаков по модулю и направлен по касательной к окружности (она есть и линия магнитной индукции). Значит, циркуляция вектора В равна

Используя формулу (1), получим В•2πr=μ₀I (в вакууме), откуда

Значит, используя теорему о циркуляции вектора В мы получили выражение для магнитной индукции поля прямого тока, выведенное ранее на основании закона Био-Савара-Лапласа.

Сравнивая выражения для циркуляции векторов Е и В, можно увидеть, что между ними существует принципиальное различие. Циркуляция вектора Е электростатического поля всегда равна нулю, т. е. электростатическое поле потенциально. Циркуляция вектора В магнитного поля не равна нулю. Такое поле носит название вихревое.

Магнитное поле соленоида

      Применим теорему о циркуляции вектора      для вычисления простейшего магнитного поля – бесконечно длинного соленоида, представляющего собой тонкий провод, намотанный плотно виток к витку на цилиндрический каркас (рис. 2.11).

Рис. 2.11

      Соленоид можно представить в виде системы одинаковых круговых токов с общей прямой осью.

      Бесконечно длинный соленоид симметричен любой, перпендикулярной к его оси плоскости. Взятые попарно (рис. 2.12), симметричные относительно такой плоскости витки создают поле, в котором вектор    перпендикулярен плоскости витка, т.е. линии магнитной индукции имеют направление параллельное оси соленоида внутри и вне его.

Рис. 2.12

      Из параллельности вектора    оси соленоида вытекает, что поле как внутри, так и вне соленоида должно быть однородным.

      Возьмём воображаемый прямоугольный контур 1–2–3–4–1 и разместим его в соленоиде, как показано на рисунке 2.13.

   

Рис. 2.13

      Второй и четвёртый интегралы равны нулю, т.к. вектор    перпендикулярен направлению обхода, т.е   .

      Возьмём участок 3–4 – на большом расстоянии от соленоида, где поле стремится к нулю; и пренебрежём третьим интегралом, тогда

где    – магнитная индукция на участке  1–2 – внутри  соленоида,     – магнитная проницаемость вещества.

      Если отрезок 1–2 внутри соленоида, контур охватывает ток:

где n – число витков на единицу длины, I – ток в соленоиде (в проводнике).

      Тогда магнитная индукция внутри соленоида:

,

(2.7.1)

      Вне соленоида:

  и   , т.е.   .

Бесконечно длинный соленоид аналогичен плоскому конденсатору – и тут, и там поле однородно и сосредоточено внутри.

      Произведение nI – называется число ампер витков на метр.

      У конца полубесконечного соленоида, на его12. Переменное электрмагнитное поле. Уравнение Максвелла в дифференциальной форме.

Уравнения Максвелла представляют собой в векторной записи систему из четырёх уравнений, сводящуюся в компонентном представлении к восьми (два векторных уравнения содержат по три компоненты каждое плюс два скалярных^[28]) линейных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка для 12 компонент четырёх векторных функций ( ):

Название	СГС	СИ	Примерное словесное выражение
Закон Гаусса			Электрический заряд является источником электрической индукции.
Закон Гаусса для магнитного поля			Не существуетмагнитных зарядов.[~ 1]
Закон индукции Фарадея			Изменение магнитной индукции порождает вихревое электрическое поле.[~ 1]
Теорема о циркуляции магнитного поля			Электрический ток и изменение электрической индукции порождают вихревое магнитное поле

Жирным шрифтом в дальнейшем обозначаются векторные величины, курсивом — скалярные.

Введённые обозначения:

•  — плотность стороннего электрического заряда (в единицах СИ — Кл/м³);

•  — плотность электрического тока (плотность тока проводимости) (в единицах СИ — А/м²); в простейшем случае — случае тока, порождаемого одним типом носителей заряда, она выражается просто как  , где   — (средняя) скорость движения этих носителей в окрестности данной точки,   — плотность заряда этого типа носителей (она в общем случае не совпадает с  )^[29]; в общем случае это выражение надо усреднить по разным типам носителей;

•  — скорость света в вакууме (299 792 458 м/с);

•  — напряжённость электрического поля (в единицах СИ — В/м);

•  — напряжённость магнитного поля (в единицах СИ — А/м);

•  — электрическая индукция (в единицах СИ — Кл/м²);

•  — магнитная индукция (в единицах СИ — Тл = Вб/м² = кг•с⁻²•А⁻¹);

•  — дифференциальный оператор набла, при этом:

Переменное электромагнитное поле

Теория электромагнитного поля создана Джеймсом Максвеллом в 1865 г. Он теоретически доказал, что: любое изменение со временем магнитного поля приводит к возникновению изменяющегося электрического поля, а всякое изменение со временем электрического поля порождает изменяющееся магнитное поле.

Магнитное поле – это особая форма материи, которая существует реально,независимо от нас, от наших знаний и нем.

Основные свойства магнитного поля:

Магнитное поле порождается электрическим током (движущимися зарядами);

Магнитное поле обнаруживается по действию на ток (движущиеся заряды);

Магнитное поле действует только на подвижные заряды с определенной силой.

2. Правила, определяющие направления магнитного поля (линий магнитной

индукции):

а) правила буравчика для прямого проводника с током;

б) правило буравчика для кругового проводника с током;

в) правило соленоида.

Магнитное поле графически изображается в виде линий магнитное индукции.

2. Модуль вектора магнитной индукции.

М∼IS М∼IS

Вектор магнитной индукции – это силовая характеристика магнитного поля.

оси магнитная индукция равна:

,

(2.7.2)

      Практически, если длина соленоида много больше, чем его диаметр, формула (2.7.1) справедлива для точек вблизи середины, формула (2.7.2) для точек около конца.

      Если же катушка короткая, что обычно и бывает на практике, то магнитная индукция в любой точке А, лежащей на оси соленоида,направлена вдоль оси (по правилу буравчика) и численно равна алгебраической сумме индукций магнитных полей создаваемых в точке А всеми витками. В этом случае имеем:·     В точке, лежащей на середине оси соленоида магнитное поле будет максимальным:

,

(2.7.3)

где L – длина соленоида, R – радиус витков.

·     В произвольной точке конечного соленоида (рис. 2.14) магнитную индукцию можно найти по формуле

,

(2.7.4)

Рис. 2.14

      На рисунке 2.15 изображены силовые линии магнитного поля     :  а) металлического стержня; б) соленоида; в) железные опилки, рассыпанные на листе бумаги, помещенной над магнитом, стремятся вытянуться вдоль силовых линий; г) магнитные полюсы соленоида.

            

Рис. 2.15