3. Имитация поведения объектов в тренажерах, виртуальных моделях.

Существует множество путей решения задач построения искусственных объектов с не заметной наблюдателем разницей, между естественным объектом и генерируемым. Это противодействие, маскировка, практически все основные задачи в виртуальных тренажерах, компьютерных играх, обратной инжинирии и т.п. В них необходимо решить обратную задачу распознавания. Надо создать объект, который, по наблюдаемым признакам, не выходил бы за границы эллипсоида существования признаков естественного (имитируемого класса). Сказанное касается и признаков поведения объектов класса, параметров наблюдаемых траекторий в фазовых пространствах.

Качество тренажера напрямую зависит от точности воспроизведения параметров моделируемых процессов. В связи с этим математические модели физических процессов являются важнейшим компонентом тренажеров, имеющим самостоятельное значение. Реализация совершенных математических моделей, описывающих поведение имитируемых объектов и их компонентов должна обеспечить эффект реального времени и уменьшение погрешности имитации до уровня неразличимости наблюдателями. Параметры моделей часто входят и в признаки распознаваемых систем.

С другой стороны в тренажерах стремятся глубже понять суть процессов и совершенство математических моделей их описывающих. Это задача интересует разработчиков. Она входит в перечень задач решаемых в обратной инжинирии проводимой с целью понять принципы работы и, чаще всего, воспроизвести устройство, программу или иной объект с аналогичными функциями, но без получения объекта, как такового. Решается она и в том случае, если отсутствует информация о структуре и способе создания объекта, или она представлена в нечеткой форме. Создатели программного обеспечения под словами «reverse engineering» чаще всего понимается так называемый «clean room reverse engineering», то есть процесс, при котором анализируется машинный код программы (дизассемблирование), составляется алгоритм данной программы на псевдокоде, или разрабатываются спецификации анализируемого внешнего устройства. После получения спецификаций пишется эквивалентный драйвер на основе полученных спецификаций или алгоритмов. Анализ схожести результатов решений и копируемого объекта правильнее всего проводить с привлечением методов распознавания образов.

Многие процессы в тренажерах имитируются лишь частично из-за вычислительной сложности решения матричных уравнений высокого порядка. Но полученные решения не соответствуют реальному объекту. Сказанное хорошо понятно на примере комплексных самолетных, вертолетных тренажеров. Модели базируются на математическом описании физических процессов, происходящих в реальном объекте, в виде систем дифференциальных, алгебраических и логических уравнений, причем, определение их параметров может производиться на основе характеристик оборудования и экспериментальных данных о работе объекта.

В процессе компьютерного моделирования исследователь имеет дело с тремя объектами: системой (реальной, проектируемой и воображаемой), математической моделью и компьютерной программой, реализующей алгоритм решения уравнений модели. Исходя из того, что компьютерное моделирование применяется для исследования, оптимизации и проектирования реальных технологических объектов (систем), можно выделить следующие этапы этого процесса:

1. определение объекта – установление границ, ограничений и измерителей эффективности функционирования объекта;

2. формализация объекта (построение модели) – переход от реального объекта к некоторой логической схеме (абстрагирование);

3. подготовка данных – отбор данных, необходимых для построения модели, и представление их в соответствующей форме;

4. разработка моделирующего алгоритма и компьютерной программы;

5. оценка адекватности – повышение до приемлемого уровня степени уверенности, с которой можно судить относительно корректности выводов о реальном объекте, полученных на основании обращения к модели;

6. стратегическое планирование – планирование вычислительного эксперимента, который должен дать необходимую информацию;

7. тактическое планирование – определение способа проведения каждой серии испытаний, предусмотренных планом эксперимента;

8. экспериментирование – процесс осуществления имитации с целью получения желаемых данных и анализа чувствительности;

9. интерпретация – построение выводов по данным, полученным путем имитации;

10. реализация – практическое использование модели и результатов моделирования;

11. документирование – регистрация хода осуществления процесса и его результатов, а также документирование процесса создания и использования модели.

На первом этапе построения математических моделей строится «эквивалент» технологического объекта, отражающий в математической форме важнейшие его свойства. Математическая модель исследуется теоретическими методами, что позволяет получить важные предварительные знания об объекте.

Второй этап связан с разработкой метода расчета сформулированной математической задачи или моделирующего алгоритма.

Третий этап – создание программы для реализации разработанного моделирующего алгоритма на компьютерах (создание компьютерной модели).

Согласно традиционной процедуре компьютерного моделирования, существует основная цепочка, которая дополняется в тренажерах: система – математическая модель – моделирующий алгоритм – компьютерная программа – вычислительный эксперимент – виртуальная имитация в реальном времени. После того как адекватность триады «модель – алгоритм – программа» исходному технологическому объекту удостоверена, с моделью можно проводить разнообразные «опыты», дающие все требуемые качественные и количественные свойства и характеристики объекта. Процесс компьютерного моделирования сопровождается улучшением и уточнением, по мере необходимости, всех звеньев триады.

Например, рассмотрим передаточную функцию линейной стационарной непрерывной системы:

где, знаменатель является собственным многочленом исходной системы, – постоянные матрицы, – постоянные коэффициенты, – оператор Лапласа. Создадим модель пониженного порядка: где, знаменатель является собственным многочленом системы пониженного порядка, , – постоянные матрицы, – постоянные коэффициенты. Рассмотрим следующие методы снижения порядка сложности моделей:

1. Метод Паде-аппроксимации

Данный метод представляет собой приближение рациональных функций, обычно для этого используется приближение Паде к трансцендентным функциям. Если передаточная функция исходной системы может быть и в виде бесконечного степенного ряда: , где являются постоянными матрицами, равными матрицам по размерности. Определение Паде-аппроксимации для представляется в виде: где – обозначение Паде-аппроксимации, знаменатель – собственный многочлен модели пониженного порядка; – постоянные матрицы, равные по размерности матрицам . Получаем уравнений после сопоставления матриц коэффициентов, и, в результате, имеем модель пониженного порядка через решение неизвестных переменных в этих уравнениях.

Главные недостатки Паде-аппроксимации заключаются в том, что возможно появление неустойчивой модели пониженного порядка. Хотя, исходная система – устойчива. Это обусловлено тем, что при сопоставлении матриц коэффициентов учитывается не только знаменатель передаточной функции, но и ее числитель. Поэтому на устойчивость модели пониженного порядка прямо влияют также все члены числителя.

2. Метод непрерывной дроби. Это метод аппроксимации рациональных функций. Его главная цель

заключается в уменьшении порядка рациональных передаточных функций для линейных стационарных систем (т. е. степени многочлена в знаменателе), а основной подход состоит в следующем. Модель исходной системы представляется в виде непрерывных дробей, затем отсекаются не главные частичные коэффициенты для построения модели пониженного порядка. Поскольку скорость сходимости непрерывной дроби больше, чем скорость сходимости степенного ряда, и присутствует разложение многих ортогональных многочленов, малочисленные частичные коэффициенты позволяют отразить главные характеристики выходного отклика исходной системы после разложения, отсечения и инверсии непрерывных дробей. Пусть составные компоненты передаточной функции представлены в виде:

. (1.5)

Последовательность снижения порядка сложности моделей методом непрерывных дробей следующая:

Шаг 1: разложение, т. е. передаточная функция , представленная в виде рациональных функций, разложена в непрерывные дроби определенного вида;

Шаг 2: отсечение, т. е. отсекаем последние частичные коэффициенты моделей и получаем непрерывную дробь с более низким порядком;

Шаг 3: инверсия, т. е. непрерывная дробь с низким порядком вновь преобразуется в вид рациональных функций, и получается модель пониженного порядка. Метод непрерывной дроби прост в расчете и обеспечивает более высокую точность приближения модели пониженного порядка к исходной по частотным или временным характеристикам. Однако при использовании данного метода так же существует проблема сохранения устойчивости, т. е. модель пониженного порядка может быть не устойчива при устойчивости исходной системы.

3. Метод аппроксимации Рауса. Основная идея данного метода заключается в том, что непрерывная

дробь отсекается после разложения для обеспечения устойчивости полученной модели пониженного порядка, используя определенные соотношения между коэффициентами в таблице Рауса и особым видом разложения непрерывной дроби (т. е. так называемым разложением). Следовательно, метод аппроксимации Рауса с одной стороны тесно связан с методом Паде аппроксимации, с другой стороны имеет свою специфику.

Метод аппроксимации Рауса сам по себе является методом непрерывной дроби, но его идея снижения порядка сложности моделей более ясна в отличие от рассмотренного выше метода непрерывной дроби. Данный метод даже может использоваться в MIMO-системах (много входов, много выходов), хотя процесс реализации сложен по сравнению с методом непрерывной дроби.

Поскольку знаменатель передаточной функции определяет устойчивость системы, можно учитывать только разложенный вид знаменателя, а для числителя проводить Паде аппроксимацию. Следовательно, в разложенном виде знаменателя не появятся матрицы, что приводит к простоте процесса и возможности использования его в MIMO-системах. Однако данный метод имеет высокую динамическую ошибку при обеспечении устойчивости.

4. Метод Паде-аппроксимации в сочетании с критерием устойчивости Рауса. Идея данного метода, во

многом, заключается в том, что знаменатель передаточной функции модели пониженного порядка определяется с использованием критерия Рауса, т. е. эта передаточная функция создается согласно знаменателю передаточной функции исходной системы и раскладывается в вид непрерывной дроби, затем после отсечения и инверсии получается знаменатель модели пониженного порядка. Числитель определяется методом Паде-аппроксимации, т. е. коэффициенты всех членов в многочлене числителя получаются посредством решения неизвестных коэффициентов при условии, что первые коэффициенты Паде в модели пониженного порядка равны соответствующим в исходной модели. Точность аппроксимации при этом понижается по сравнению с предыдущим методом Паде-аппроксимации. Одним словом, для данного комбинированного метода устойчивость обеспечивается ценой понижения точности приближения.

Метод Паде-аппроксимации в сочетании с критерием устойчивости Рауса применяется преимущественно для решения проблем сохранения устойчивости, встречающихся при использовании методов Паде-аппроксимации и непрерывной дроби, т. е. при использовании данного комбинированного метода, устойчивость обеспечивается ценой понижения точности аппроксимации.

5. Метод Паде-аппроксимации по частотным характеристикам. Данный метод, основанный на идее

метода Паде, представляет собой метод снижения порядка сложности моделей с регулируемыми параметрами. В соответствии с этим выбираются последние несколько коэффициентов Паде в качестве регулируемых параметров, которые определяются через тождественное равенство, полученное в некоторых частотных точках по амплитудной и фазовой частотным характеристикам. Затем может быть получена модель пониженного порядка с высокой точностью приближения. Метод Паде-аппроксимации по частотным характеристикам сочетает метода аппроксимации по частотным характеристикам с методом Паде, т. е. характеристики нижних частот аппроксимируют методом Паде, а характеристики средних и высших частот воспроизводятся посредством частотной аппроксимации в некоторых точках. Согласно практическому опыту, можно подобрать определенные частотные точки с целью повышения точности аппроксимации и сохранения устойчивости при снижении порядка сложности моделей. Данный метод сохраняет главные плюсы классического метода Паде, используя простую процедуру, слабо влияющую на точность аппроксимации Паде в процессе снижения порядка сложности моделей. Его главные преимущества заключаются в простоте расчета, гибкости изменения частотных точках, удобстве технической реализации и точности аппроксимации по частотным и временным характеристикам. Необходимо подчеркнуть, что данный метод не может полностью обеспечить устойчивость, однако путем выбора разных частотных точек, возможен выбор лучшего варианта модели пониженного порядка.

6. Метод с регулируемыми факторами. Среди указанных выше методов, помимо пятого метода,

расчетные форматы и результаты снижения порядка сложности моделей – негибкие. В них отсутствует возможность проявить опыт и способности пользователей. Метод снижения порядка сложности моделей с регулируемыми факторами создал условия «групповой эквивалентности» исходной модели и модели пониженного порядка по переходным характеристикам. Затем, неизвестные параметры определяются через аппроксимацию данных по главным частотным характеристикам систем (или посредством метода оптимизации). Полученные модели пониженного порядка позволяют не только сохранить установившиеся характеристики систем, но и селективно по требованию пользователей сохранить другие главные характеристики (например, полосу пропускания, степень устойчивость и т. п.). При снижении порядка сложности моделей необходимо отбрасывать их несущественные характеристики, что приводит к неполной эквивалентности с исходными системами, но данный метод позволяет, в определенной мере, сохранить некоторые главные характеристики систем.

Подход к реализации такой аппроксимации состоит в том, что надо умножить соотношение, тождественное единице, затем использовать метод Паде-аппроксимации в сочетании с критерием устойчивости Рауса и получить неизвестные регулируемые факторы. Последовательность модификации данного метода снижения порядка сложности моделей заключается во введении нескольких регулируемых факторов, аппроксимации главных частотных характеристик исходных систем и решении уравнений для получения регулируемых факторов. Поскольку модели одинакового пониженного порядка, полученные этим методом, являются множеством, данный метод может сочетаться с почти всеми частотными методами снижения порядка сложности моделей. Если имеющиеся методы считаются грубыми процессами снижения порядка сложности моделей, то определение регулируемых факторов является точной подстройкой грубых процессов. Однако, недостатки его состоят в том, что вычислительные затраты выше, чем в рассмотренных ранее методах. Следовательно, получение удовлетворительных моделей пониженного порядка нуждается в эвристическом и повторном испытании с использованием опыта пользователей.

7. Метод на основании анализа господствующей энергии. Данный метод основывается на том факте,

что главные собственные значения систем определяются вкладами энергии модальностей в ее выход. В работе этот метод используется для систем с одинаковыми собственными значениями. При воздействии белого шума, вклад энергии каждой модальности отражается коэффициентами затухающих по времени функций выхода систем. Такими коэффициентами являются главные собственные значения систем. Затем, определяются порядок моделей пониженного порядка и соответствующие собственные многочлены. Наконец модели пониженного порядка получаются с использованием метода Паде-аппроксимации. Такой метод не только обеспечивает устойчивость моделей пониженного порядка, но и имеет более высокую точность приближения моделей пониженного порядка к исходным по переходным и установившимся характеристикам. Однако, его вычислительные затраты при определении главных полюсов весьма велики.

8. Метод матричной Паде-аппроксимации - смешанный метод снижения порядка сложности моделей, так

называемый метод матричной Паде-аппроксимации. Вначале произвольно выбирается один матричный многочлен, как знаменатель моделей пониженного порядка, затем числитель определяется матричным видом Паде. Главные преимущества данного метода снижения порядка сложности моделей заключаются в простоте расчетного процесса и обеспечении устойчивости моделей пониженного порядка при условии, когда нули многочлена выбираются в левой комплексной полуплоскости. Важная особенность данного метода состоит в том, что можно получить устойчивые модели пониженного порядка с собственными значениями исходных систем (необязательно главными), если исходные системы устойчивы. Однако недостаток данного метода состоит в том, что он не обеспечивает сохранение главных собственных значений.