Более детально рассмотрим снижение порядка сложности моделей пространства состояний для линейных непрерывных стационарных систем:

,

где, , , – векторы фазовых координат, управляющих и регулируемых величин соответственно; – пространство Евклида (Euclidean space); – матрицы постоянных коэффициентов с подходящими размерностями. Модель пониженного порядка может быть представлена в виде:

, (1.7)

где, ; – постоянные матрицы с подходящими размерностями.

1. Метод агрегирования. В 1968 г. ученый Aoki (Аоки) создал метод агрегирования на основе моделей пониженного порядка с главными собственными значениями. Идея данного метода состоит в том, что модели пониженного порядка получаются посредством подбора r главных собственных значений из матрицы . Постоянная матрица агрегирования связывает вектор состояний исходных систем с вектором состояний моделей пониженного порядка: .

Это означает, что вектор состояний вряд ли является физически существующим, скорее это – линейная комбинация по определенному модулю, сохраняющемуся в переменных состояний исходных систем. Матрицы и могут быть представлены в виде: или , при условии полного ранга матрицы по строкам. Тогда, собственные значения матрицы равны собственным значениям матрицы . Одним словом, по сути метод агрегирования – распространение метода снижения порядка сложности моделей линейных систем с сохранением главных собственных значений. Способ снижения порядка сложности моделей, состоящий в том, что для получения матрицы требуется (используя метод агрегирования с учетом уравнений выхода).

2. Метод возмущения. Суть данного метода заключается в том, что нужно пренебрегать слабыми

внутренними соотношениями или параметрами в моделях исходных систем высокого порядка для получения моделей низкого порядка. Обычно существуют два метода возмущения, направленного на слабосвязанные и сильносвязанные системы, называющиеся не сингулярным и сингулярным возмущениями соответственно.

Если исходные системы слабосвязаны, то можно разделить переменные состояний на две части, и представлять их в виде: где, – положительный коэффициент связи, – векторы состояний системы, – задающее воздействие системы, – блочные матрицы системы. Пусть , тогда указанная выше модель может быть разделена на две подсистемы низкого порядка: Для сильносвязанных систем соотношение может быть представлено в виде: , где, и – векторы состояний с размерностями и , , – задающее воздействие системы, – блочные матрицы системы, а –малое положительное число, матрица – обратима. И так, исходные системы разделены на две части: медленные и быстрые системы, соответствующие векторам и состояний. Пусть , т. е. учитываются только действия систем в установившемся процессе, тогда где, уравнение для решения вектора состояний – алгебраическое, поэтому порядок модели пониженного порядка равен .

3. Метод оптимальной аппроксимации. Суть данного метода снижения порядка сложности моделей состоит в

том, что некоторый функционал ошибок между выходными величинами реальных систем и моделей считается мерой их приближения, и для получения оптимальных моделей проводится его минимизация. В 1970 г. Вилсен предложил применение метода интегральной квадратичной ошибки для получения оптимальных моделей непрерывных стационарных многомерных систем. Выбирается квадратичная форма вектора ошибок как функция оценки при импульсном векторе входа :

где , а – положительно-определенная симметричная весовая матрица. Для вычисления целевой функции , вектор входа должен быть задан. После подстановки формул в , при помощи необходимых условий оптимизации получается следующая система нелинейных алгебраических уравнений: где , , – элементы матриц , , соответственно. Решение данной системы уравнений для определения матриц очень затруднено, поскольку, с одной стороны, уравнения нелинейные, а с другой стороны, элементы матриц – неизвестные величины и многочисленные.

Уравнения решены методом наименьших квадратов для значительного уменьшения вычислительных затрат оптимизации. Для реализации совпадения характеристик систем в установившемся состоянии, вводятся линейные условия ограничения, что позволяет легко удовлетворять особым требованиям к моделям пониженного порядка, и значительно повысить точность приближения и применимость моделей пониженного порядка.

В данном методе используется только простая аппроксимация исходных систем с учетом входных и выходных данных. После назначения порядков систем, при помощи распознавания можно получить модели систем пониженного порядка.

В работе предлагается алгоритм повторных ортогональных процессов для снижения порядка сложности моделей динамических систем. Его вычислительные затраты очень низки, так как отсутствует идентификация параметров моделей при снижении порядка их сложности.

На практике, математическая модель должна быть моделью, которая оставляет существенную часть ядра и отбрасывает несущественную его часть. Она позволяет по-настоящему отобразить существенные характеристики движения систем. В принципе, методы оцениваются по вычислительным затратам, гибкости изменения параметров, точности приближения, устойчивости и т. д.

Для сравнения основных методов снижения порядка сложности моделей, представлена таблица 13.1, в которой оценены их преимущества и недостатки.

Таблица 13.1 – Сравнение основных методов снижения порядка моделей

Модели	Методы	Устойч.	Ошибка
			Динам.	Стат.
Модели передаточных функций	Паде-аппрокс.	-	+(-)	-(+)
	Непрерыв. дроби	-	+(-)	-(+)
	Аппрокс. Рауса	+	-	-
	Паде-аппрокс. в соч. крит. устойч. Рауса	+	-	-
	Паде-аппрокс. по част. характерист.	-	+	+
	С регулируемыми фактор.	-	+	+
	Анал. господ. энер.	+	+	+
	Матр. Паде-аппрокс.	+	-	+
Модели пространства состояний	Агрегирования	+	-	+
	Возмущения	+	-	+
	Оптим. аппрокс.	+	+(-)	-(+)

Пусть динамическая модель линеаризованной системы по боковому движению самолета известна в виде уравнений состояний :

Где, – фазовые координаты системы; – управляющие величины; – регулируемые величины; – угол отклонения по курсу; – угол поворота по крену; – угловая скорость поворота по крену; – угловая скорость по курсу; – угол отклонения элерона; – угол отклонения руля направления; – входная величина сопровождения элерона; – входная величина сопровождения руля направления; – угол отклонения по курсу; – угол поворота по крену.

После понижения размерности уравнения получим новые соотношения , более пригодные для распознавания движения в реальном времени (k =64):

а) от t при , б) от t при , в) от t при , г) от t при ; t, с; , углы (град.).

Рис. 13.1. Графики разностей переходных функций моделей и ( )

Отклонения переходных функций моделей и в переходных процессах малы и стремятся к нулю с течением времени. Это означает, что полученная модель хорошо приближается к исходной системе .

Новая модель в алфавите признаков описывается более компактным множеством коэффициентов.

Цифровая фильтрация в процессах распознавания объектов по поведению.

Для проведения вычислений связанных с имитацией процессов, происходящих в ряде систем при их имитации(управления механизмами, голосового аппарата, походке и прочее), требуется длительное время, прямой расчет требуют немалых вычислительных затрат в течение времени решения матричных уравнений даже систем пониженного порядка, и их можно реально применить только к расчету основных процессов, имитируемых в тренажерных комплексах.

Большую часть выходных переходных процессов можно формировать по результатам расчета входных воздействий прошедших эквивалентные цифровые фильтры. Задавая параметры фильтров можно моделировать динамические системы. Предусматривая гибкое изменение параметров, можно проводить адаптивную подстройку поведения имитируемого объекта без изменения структуры алгоритма.

Задача имитации переходных процессов динамических систем может быть решена с учетом следующих положений:

– Технические системы управления в тренажерах сложны в имитации и многомерны. Фильтры, вводимые нами в комплект математических моделей таких систем, должны облегчить их имитацию без наблюдаемого оператором нарушения точности и устойчивости управляющих систем.

– При построении тренажерных комплексов решается задача трансформации математических моделей динамических объектов и процессов, происходящих в системах управления, для их решения в реальном времени. Как правило, в ходе испытаний необходима гибкая корректировка параметров фильтров без изменения структуры алгоритма.

Основная идея имитации переходных процессов динамических систем с использованием фильтров заключается в том, что для сокращения времени расчета переходных процессов по математическим моделям динамических звеньев, следует заменить дифференциальные уравнения непрерывных систем на эквивалентные фильтры.

При этом, для гибкого изменения параметров фильтров вводятся текстовые файлы, которые содержат векторы коэффициентов фильтров и доступны для пользователей тренажеров.

Для проектирования -точечных фильтров предложены два критерия:

– Отклонения выходных сигналов фильтров от оригиналов по динамическим значениям должны быть не различимы наблюдателем;

– Длительность переходной характеристики приблизительно равна -разовой задержке.

Последовательность алгоритма расчета переходных процессов с использованием -точечных фильтров.

Данный алгоритм проводим следующими шагами:

Вводим обучающее воздействие и передаточную функцию оригинала (исходной системы);

Получаем выходной отклик оригинального объекта при воздействии ;

По тенденции изменения и продолжительности переходного процесса отклика предварительно назначаются значения задержки и число точек фильтра;

Перемещаем начальную точку динамического отклика оригинала приблизительно к начальной точке выходного отклика фильтра по вертикальной и горизонтальной координатам;

С первого до предпоследнего коэффициента фильтра (вектор коэффициентов фильтра представляется в виде ) последовательно вычисляем выходные значения фильтра по формулам , , , . Если отклонение выходных значений оригинала и фильтра в момент текущего времени ( – отсчет цикла) находится в допустимых пределах, то проводим последующее вычисление, соответствующее коэффициенту . В противном случае корректируем коэффициент и заново проводим вычисление .

Если отклонения выходных значений оригинала и фильтра во всем переходном процессе находятся в допустимых пределах, то можно завершить данный алгоритм и вывести окончательные результаты, включающие все коэффициенты и задержку данного фильтра. В противном случае нужно снова скорректировать задержку и число точек фильтра, и вернуться к третьему шагу.

Схема данного алгоритма показана на рисунке 13.2.

Рис. 13.2. Схема алгоритма расчета переходных процессов

Имитация узлов системы при расчете переходных процессов с использованием фильтров.

Ниже приведен пример реализации имитации узлов системы, с использованием цифровых фильтров. Такая имитация проводится в двух каналах: горизонтальном и вертикальном, а их передаточные функции представляются в виде:

, ,

, , где, – боковая команда управления; – продольная команда управления; – коэффициенты; – углы крена; – линейные отклонения от оптимального движения; – оператор Лапласа; – угловое отклонение от оптимального направления движения; – угол по вертикали; – отклонение по высоте.

Далее приведены результаты исследования полученных -точечных фильтров при имитации двухканальных динамических систем.

Фильтр 1 по вертикальному каналу: Вход: ; Задержка: ; , , , , .

а) от , б) от ,

в) от соответствуют тонкой, штриховой и толстой линиям

соответственно. Выход – выходные величины (относ. ед.); Время – отсчет цикла (сек.).

Рис. 13.3. Имитация переходного процесса по вертикальному каналу с использованием фильтра 1

Фильтр 2 по вертикальному каналу: Вход: ; Задержка: ; (см. рис. 13.4). , , , ,

.

а) от , б) от ,

в) от соответствуют тонкой, штриховой и толстой линиям

соответственно. Выход – выходные величины (относ. ед.); Время – отсчет цикла (сек.).

Рис. 13.4. Графики имитации переходного процесса по вертикальному каналу

Из рис. 13.3 видно, что отклонение выходной величины фильтра от оригинала во всем переходном процессе весьма мало и не может быть различимо обучаемым. Это значит, что 10-точечный фильтр с такими параметрами может удовлетворить требованию по неразличимости погрешностей имитации наблюдателем.

Из рис. 13.4 видно, что отклонение выходной величины фильтра от оригинала во всем переходном процессе весьма мало и не может быть различимо обучаемым. Т. е. 8-точечный фильтр с такими параметрами может удовлетворить требованию по неразличимости наблюдателем.

Фильтр 1 по горизонтальному каналу: Вход: ; Задержка: ; (см. рис. 13.5.).

, , , ,

. Из рисунка 2.7 видно, что 8-точечный фильтр так же может удовлетворить требованию по неразличимости оператором.

а) от , б) от ,

в) от соответствуют сплошной, штриховой линиям

и линии с крестиками соответственно. Выход – выходные величины (относ. ед.);

время – отсчет цикла (сек.).

Рис. 13.5. Графики имитации переходного процесса по горизонтальному каналу

а) от , б) от ,

в) от соответствуют сплошной, штриховой линиям

и линии с крестиками соответственно. Выход – выходные величины (относ. ед.);

время – отсчет цикла (сек.).

Рис. 13.6. Графики имитации переходного процесса по горизонтальному каналу

Фильтр 2 по горизонтальному каналу: Вход: ; Задержка: ; (см. рис. 13.6).

, , , ,

.

Из рисунка 13.6 видно, что 16-точечный фильтр так же может быть удовлетворить требованию по неразличимости наблюдателем.

Следует отметить, что обычно цифровые фильтры используются для фильтрации сигналов, а в данной работе предлагается при их помощи имитировать механические (например: стрелочные приборы, движение имитируемых объектов и т. д.) или технические системы, которые описываются сложными матричными уравнениями, в переходных процессах высокого быстродействия как цифровые фильтры. Для этого нужно заменить математические уравнения, описывающие поведения динамических систем, на цифровые фильтры для более быстрого решения этих уравнений. Использование фильтров позволяет полностью обеспечивать управление динамическими объектами без ощутимых потерь в имитируемом поведении систем.