3. Расчет эффективности распознавания.

Капля из нечеткой логики. Пусть E - универсальное множество, х - элемент Е, а G -некоторое свойство. Обычное (четкое) подмножество B универ­сального множества Е, элементы которого удовлетворяют свойст­ву G, определяется как множество упорядоченных пар: , где - характеристическая функция, принимающая значение 1, если х удовлетворяет свойству G, и 0 - в противном случае.

При задании нечеткого подмножества для элементов х из Е нет однозначного ответа «да или нет» относи­тельно свойства G. И хотя нечеткое подмножество А уни­версального множества Е определяется также, как множество упорядо­ченных пар: , где - характеристическая функция принадлежности (или про­сто функция принадлежности), принимающая значения уже в некото­ром упорядоченном множестве М (например, М = [0,...,1]). Функция принадлежности указывает степень (или уровень) принадлежности элемента х подмножеству А. Множество М назы­вают множеством принадлежностей.

Если М = {0, 1}, то нечеткое подмножество А может рассматриваться как обычное или четкое множество.

При отсутствии качественного описания следует рассмотреть 2…5 возможных вариантов распознавания образов в нечеткой ситуации, представив их как возможные решения с уровнем достоверности.

Аналитически формально задача принятия решения при распознавании описывается как упорядочная четверка. Кортеж , где - множество возможных значений не наблюдаемого параметра;

- множество всех возможных решений (альтернатив); - функция потерь, заданная на , ; - статистическая закономерность на .

Практически все величины, входящие в кортеж определены не четко. Пусть имеется совокупность решений а₁, а₂, ..., а_m, m  2, которые может совершить система для достижения поставленной цели, причем одну и только одну операцию а_i, i{1, 2, ..., m}, выбирает алгоритм, принимающий решение.

Кроме того, представлен перечень объективных условий (ситуаций), F₁, F₂, ..., F_n, одно из которых F_j, j{1, 2, ..., n}, будет иметь место в действительности. Для каждой операции а_i, i = 1, 2, ..., m, при каждом условии F_j, задан риск в некоторых единицах .

Величины , играющие роль платежей в теории игр, получаются расчетным или оценочным путем. Они могут быть объективны или субъективны. Возникают определенные трудности при их числовой оценке, обусловленные многими факторами. Величины можно задавать относительно, поэтому нередко их называют показателями предпочтительности.

На рис. 14.1 представлены виды двух типов функций рисков. Многоэкстремальной (а) и гладкой (б). Каждое значение функции рисков может быть нечетко заданным и многокомпонентным. Так как представляет собой основное наполнение матрицы решений, то рис. 14.1 можно определить как графическое представление матрицы решений.

а	б
Рис. 14.1. Вид различных типов функций риска

Табличное представление матрицы решений в различных областях применения ТР имеет свою специфику. Рассмотрим ее вид наиболее часто встречающийся в технических приложениях. В таблице 14.1 представлены по строкам:

• Вторая строка – символьное определение типа ситуации. В отдельных источниках можно встретить название явление природы или состояние природы. Все это говорит о желании авторов представить некоторый, не управляемый системой параметр внешней среды, от которого зависит эффективность возможных действий системы. Практическое решение в расчетах имеет только индекс ситуации .

• Первая строка – характеристическая функция принадлежности . Как правило, определяется в виде вероятности возникновения ситуации . Но это не ограничивает жестко ее суть. Данная величина чаще всего используется в расчетах в виде сомножителя , поэтому имеет вид весовой функции ситуации, ее дополнительного влияния на исход решения.

• Второй столбец – символьные обозначения возможных решений. Практическое значение имеет только индекс решения. Именно поиск данного индекса является базовой целью анализа. Его значение определяет оптимальное решение, дающее наибольший выигрыш или наименьшие потери при заданном уровне возможного проигрыша, который может случится, если возникнет одна из не запланированных ситуаций.

• Первый столбец – характеристическая функция принадлежности . Определяет обычно вероятность осуществления решения . В ряде случаев по объективным или субъективным причинам запланированное решение не реализуется полностью и реально осуществляется другое учтенное или неучтенное решение (параметры реализованного решения не позволяют говорить о том, что выполнено запланированное решение).

Поле таблицы заполняется оценками риска или выигрыша от принятия решения , при его реализации в условии . Таблица 14.1

			...		...
			...		...
			...		...
...	...	...	...	...	...	...
			...		...
...	...		...	...	...	...
			...		...

При последующем анализе таблица видоизменяется. В нее вводятся новые строки и столбцы. Они уменьшают объем вычислительных операций, так как из рассмотрения удаляются отдельные, слабые, по мнению авторов, зависимости.

Добавляемый столбец получил название оценочной функции , которая отражает установленный по выбранной схеме принятия решений (критерию) выигрыш или потери от решения с номером .

Таблица 14.2

			...		...
			...		...
			...		...
...	...	...	...	...	...	...	...
			...		...
...	...		...	...	...	...	...
			...		...
			...		...

Добавляемая строка обычно используется, как уменьшаемое в пересчетах таблицы принятия решений. В ряде преобразований она представляет максимально возможный выигрыш в ситуации . Тогда таблица превращается в таблицу потерь от не оптимальных для данной ситуации решений. После добавления строк и столбцов таблица принимает новый вид (таблица 14.2).

Число добавляемых столбцов может составлять и десяток. Тогда становится индексом критерия принятия решения. И таблица как бы представляет решения многих экспертов, пользующихся для анализа различными критериями.

Последующая обработка проводится только с со столбцами .

Процедуры превращения матрицы в вектор или вектора слабо связанные друг с другом, естественно снижают вычислительную нагрузку. Но стремится к этому, как к основной цели необходимо осторожно. Прежде всего, надо понимать то, что расчет достаточно больших матриц по интегральным критериям высокой сложности, в конце концов, занимает несколько секунд, в крайнем случае, минут рабочего времени современных компьютеров в том числе и встраиваемых в интеллектуальные приборы.

В процессе преобразований не только дополняют но и вычеркиваются те строки, которые описывают заведомо худшие последствия, чем те, что предполагают остающиеся решения.

Если в процессе преобразований становится равным единице, матрица превращается в вектор, отображающий последствия единственного из возможных решений – фатальная ситуация в принятии решений (Таблица 14.3). Будущее не корректируется, остается только ждать.

Таблица 14.3

			...		...
			...		...
			...		...

Графическая интерпретация действий с матрицей последствий решений не ограничивается только построением 3D моделей. В практике последовательного анализа используется построение несколько не обычной графической модели.

Проще всего дальнейшие графические формы представить для случая с двумя учитываемыми ситуациями.

Таблица 14.4

		0,5	0,5
1		27	61
1		41	37
1		42	27
1		39	35
1		36	55
1		35	73
1		38	78
1		44	64
1		48	39
1		20	16

В таблице 14.4 приведен пример выигрыша от принятия одного из десяти вариантов решений, которые могут быть реализованы в двух ситуациях.

Для упрощения характеристические функции принадлежности опущены

Для начала построим график, у которого введены оси:

- представлена числами 0, 1, являющихся индексами ситуаций и ;

- искомая величина представлена номерами принимаемых решений;

- ось последствий принятых решений осуществленных в одной из ситуаций.

Точки на графике (рис. 14.2) лежат в плоскости и плоскости ей параллельной, но проходящей через точку . Проекции на плоскость и далее на ось дают оценки выигрышей.

Рис. 14.2. Последствия решений в двух ситуациях

Таким образом, график образуется параллельными плоскостями отображающими столбцы таблицы и проходящими через индексы ситуаций.

А пересечение их с плоскостью дает линии последствий различных решений в данной ситуации. Превратим их в координатные оси.

Новые оси – числовые оценки последствий решений в каждой ситуации. Число осей и следовательно размерность пространства анализа равно числу рассматриваемых ситуаций плюс одна. Последняя ось – ось номеров решений отображает искомую величину – индекс оптимального решения.

.

График на рис. 14.3 показывает полученную фигуру. Ось отображает последствия решений при ситуации , ось - последствия решений при ситуации .

Рис. 14.3. Решения над полем принятия решений

Плоскость образует поле принятия решений, из которого «вырастают» возможные решения. Такое преобразование позволяет понизить размерность пространства анализа.

На рис. 14.4 показано поле принятия решений (прямоугольник ABCD). Оно образовано отрезками линий параллельных оси и проходящими через точки максимального и минимального выигрыша, который можно получить при ситуации , а также отрезками линий параллельных оси и проходящими через точки максимального и минимального выигрыша, который можно получить при ситуации .

В зависимости от принятого критерия мы проходим различные точки в данном поле. Часть точек не попадает в рассмотрение.

Рис. 14.4. Поле принятия решений

Пусть мы попали в рабочую точку РТ. Проведем через нее линии параллельные осям. Данные линии разделили поле принятия решений на четыре квадранта, которые получили название специальные названия.

• Первый квадрант – конус предпочтения. Все точки в этом квадранте отображают последствия более удачных во всех ситуациях решений. Термин конус хорошо отображает анализ решений в многомерном пространстве ситуаций.

• Третий квадрант – антиконус. Все точки в нем во всех ситуациях дают худшие результаты, чем выигрыш, который предполагает рабочая точка.

• Второй и четвертый квадранты называют областями неопределенности. При одной ситуации выигрыш в них больший, при другой – меньший, чем в рабочей точке.

а	б
Рис. 14.5. Движение линии предпочтения вдоль направляющей

Движение в поле принятия решений начинается от начала координат. Формируется линия предпочтения (в многомерном пространстве ситуаций – гиперповерхность), форма которой отображает выбранный тип критерия. Данная поверхность движется вдоль направляющей, уравнение которой также определяет выбранный критерий. На рис. 14.5 приведен пример таких построений для одного из критериев принятия решений.

В первом случае рис. 14.5 а выше уровня предпочтения лежит пять точек и движение продолжается. В конце последняя точка на линии рис. 14.5 б выбирается решение (выше и правее линии предпочтения точек нет). Это решение с индексом 6 - предполагающее выигрыш - 38 или - 78 в зависимости от ситуации. Подробно построение линий предпочтения будет рассмотрено ниже.

Сложившаяся на сегодня методика поддержки принятия решений в большинстве случаев рекомендует последовательное прохождение следующих этапов:

• анализ ситуации с формированием матрицы решений;

• выработку одного или нескольких критериев принятия решений (задание оценочных функций);

• определение номеров решений по выбранным критериям;

• анализ полезности выбранных вариантов решений.

Данные этапы, как правило, повторяются несколько раз с постепенным уменьшением числа возможных решений и перечня анализируемых ситуаций их применения. В системах искусственного интеллекта эти процедуры также программируются с различной степенью адаптации алгоритмов и их параметров к изменению ситуаций в процессе существования системы.

Все компоненты матрицы решений, целевые функции неизбежно имеют статистический характер, поэтому в процессе принятия решений многократно применяются методы анализа случайных процессов и событий.

Классические критерии принятия решений. Ряд критериев принятия решений прошли достаточную проверку практикой и стали базой для формирования других критериев. Это позволило их выделить в отдельную группу.

Минимаксный критерий принятия решения (ММ-критерий) занимает ключевое место в технических решениях. Он полностью исключает риск и, при этом ограничении, дает наилучшее решение. Это позиция крайней осторожности.

Критерий предполагает формирование столбца оценочной функции с выигрышами, которые можно получить в наихудших условиях реализации выбранного решения.

.

Его критерий .

А схема выбора решения

.

Формула минимаксного критерия звучит следующим образом:

Выбирается множество оптимальных вариантов , которое содержит варианты , принадлежащие множеству и оценка максимальна среди всех минимальных результатов возможных решений.

Рассмотрим пример. Пусть матрица решений содержит выигрыши от четырех решений , которые можно реализовать в четырех условиях .

Таблица 14.5 содержит оценки условных выигрышей и упрощена исключением оценок функции принадлежности.

Таблица 14.5

	60	55	62,5	62,5
	35	57,5	77,5	67,5
	20	62,5	92,5	65
	10	67,5	82,5	100

Дополним ее столбцом . Результат приведен в таблице 14.6.

Максимальное значение выигрыша можно получить при отсутствии риска в случае решения и его величина составит 55 единиц.

Какие бы условия реализации выбранного решения не встретились оно даст не меньший выигрыш, чем тот, что запланирован по оптимальному решению.

Какие бы решения не принимались, любое из них даст в худших для себя условиях меньший выигрыш, чем оптимальное.

Таблица 14.6

	60	55	62,5	62,5	55
	35	57,5	77,5	67,5	35
	20	62,5	92,5	65	20
	10	67,5	82,5	100	10

Применение ММ-критерия оправдано если:

• О характеристических функциях принадлежности ситуаций ничего не известно;

• Решение реализуется один или небольшое число раз;

• Риск полностью исключается.

Сократим таблицу 14.5 до двух первых столбцов и .

Графическая интерпретация ММ-критерия для двух первых столбцов матрицы решений таб. 14.5 приведена на рис. 14.6.

Точки в поле принятия решений дискретны. Вне них возможных решений нет. Оси и непрерывны и можно задать функцию предпочтения. Функция предпочтения задается на основе оценочной функции рассматриваемого критерия. В данном случае для двух ситуаций , где - текущий уровень рабочей точки.

Рис. 14.6. Функция предпочтения минимаксного критерия

Так как мы максимализируем результат, то, если есть хоть одна точка выше данной линии необходимо увеличивать . Уравнение задает конус, грани которого параллельны осям ординат (К на рис. 14.6). На рис. 14.6 =28, выше есть две точки поэтому необходимо увеличивать . Вершина конуса движется по направляющей являющейся биссектрисой угла оси ординат – функция u на рис. 14.6.

Критерий Байеса – Лапласа (BL-критерий) максимализирует средний выигрыш и допускает определенный риск. В реальной реализации выигрыш может быть существенно ниже, чем запланированный. Для его применения необходимо знать оценки вероятностей появления ситуаций. Это случай массового применения решения при полном отсутствии ограничения на риск.

Критерий предполагает формирование столбца оценочной функции с выигрышами, которые дают средний результат многократного применения выбранного решения при всех ситуациях.

.

Его критерий .

А схема выбора решения

.

Формула критерия Байеса – Лапласа звучит следующим образом:

Выбирается множество оптимальных вариантов , которое содержит варианты , принадлежащие множеству и оценка максимальна среди всех оценок математических ожиданий результатов возможных решений.

Рассмотрим пример. Дополним матрицу решений таб. 14.5 строкой содержащей оценки характеристических функций принадлежности выбранных ситуаций общему пространству возможных внешних событий. Детально процесс получения оценок изложен в первом разделе. Упростим их до оценок математических ожиданий вероятности появления ситуаций , , , . Результаты приведены в таблице 14.7.

Таблица 14.7

	0,1	0,08	0,75	0,07
	60	55	62,5	62,5
	35	57,5	77,5	67,5
	20	62,5	92,5	65
	10	67,5	82,5	100

Умножим столбцы матрицы на оценки математических ожиданий вероятности появления ситуаций и дополним ее столбцом , вычислив его компоненты, как оценки математических ожиданий последствий каждого из решений. Результат приведен в таблице 14.8.

Согласно схеме критерия Байеса – Лапласа найдем максимум и по его положению определим оптимальное решение – это . Оно оценивает прогнозируемых выигрыш в 80,92 единицы. Он выше чем прогнозирует минимаксный – 55, но может составить и 20, если окажется сильно заниженной оценка математического ожидания вероятности возникновения ситуации . Т. о. присутствует риск не получения планируемого выигрыша.

Таблица 14.8

	0,1	0,08	0,75	0,07
	6	4,4	46,88	4,375	61,65
	3,5	4,6	58,13	4,725	70,95
	2	5	69,38	4,55	80,92
	1	5,4	61,88	7	75,28

Применение BL-критерия оправдано если:

• характеристических функциях принадлежности ситуаций хорошо изучены и достоверность оценок их параметров достаточно высока;

• Решение реализуется многократно;

• Риск при небольшом числе реализаций допустим.

Реально риск отсутствует только при большом числе реализаций.

Это критерий длинных реализаций с резервными ресурсами и стабильным во времени видом и параметрами характеристических функций принадлежности.

Для графической интерпретации сократим таблицу 14.5 до двух столбцов и изменив и . Столбцы убраны, как менее вероятные.

Таблица 14.9

	0,15	0,85
	60	62,5	62,13
	35	77,5	71,13
	20	92,5	81,63
	10	82,5	71,63

Результаты представлены в таблице 14.9. Оценки выигрышей изменились, но несущественно, оптимальное решение прежнее.

Графическая интерпретация BL-критерия для выбранных столбцов матрицы решений таб. 13 приведена на рис. 14.7.

Функция предпочтения задается на основе оценочной функции рассматриваемого критерия. В данном случае для двух ситуаций

,

где - текущий уровень выигрыша. Это прямая линия .

Угол ее наклона и смещение по оси - зависят от вероятностей ожидания возникновения ситуаций. Так как группа ситуаций полная, то - от вероятности возникновения одного из них.

Так как мы максимализируем результат, то, если есть хоть одна точка выше данной линии необходимо увеличивать . Уравнение задает полуплоскость. Луч определяющий ее начало зависит от планируемого выигрыша . Точки попавшие на нее более предпочтительны, чем рабочая.

Направляющая должна совпадать по направлению с движением точек функции предпочтения при увеличении и проходить через вершину конуса предпочтения. Т. к. в нашем случае конус выродился в полуплоскость, то можно выбрать удобную точку. Пусть проходит через начало координат. Нормаль к совпадает с направлением функции предпочтения.

Рис. 14.7. Функция предпочтения для критерия Байеса – Лапласа

На рис. 14.7 приведены полученные графики. Функция предпочтения прорисована дважды при 80 - и при 70 - . В первом случае оптимальное решение определено однозначно (в полуплоскости одна точка), во втором изменение необходимо продолжать. Линия на рис. 14.7 выглядит как не перпендикулярная к линиям , . Это искажение обусловлено разным масштабом осей и . На рис. 14.5 также представлены функции предпочтения построенные по критерию BL при . BL – критерий для случая =const получил название нейтрального критерия.

Критерий азартного игрока или предельного оптимизма (H-критерий) редко используется в технических решениях. Он ориентирован на получение наибольшего выигрыша без учета, каких либо ограничений налагаемых возможными ситуациями. Это позиция предельного риска. Но с другой стороны это позиция и предельного оптимизма.

Практически критерий ищет наибольший выигрыш в матрице решений и выбирает решение дающего его в одной из ситуаций.

Для сохранения структуры исследований рассмотрим порядок действий по стандартной схеме.

Критерий предполагает формирование столбца оценочной функции с наибольшими выигрышами, которые можно получить при реализации выбранного решения.

_.

Его критерий .

А схема выбора решения

.

Формула критерия предельного оптимизма звучит следующим образом:

Выбирается множество оптимальных вариантов , которое содержит варианты , принадлежащие множеству и оценка максимальна среди всех максимальных результатов возможных решений.

Рассмотрим применение данного критерия на примере матрицы решений приведенной в таблице 13.

Дополним ее столбцом . Результат приведен в таблице 14.20.

Максимальное значение выигрыша можно получить при отсутствии риска в случае решения и его величина составит 100 единиц.

Какие бы условия реализации выбранного решения не встретились оно не даст большего выигрыша, чем тот что запланирован по оптимальному решению.

Какие бы решения не принимались, любое из них не даст большего выигрыша, чем оптимальное.

Таблица 14.20

	60	55	62,5	62,5	62,5
	35	57,5	77,5	67,5	77,5
	20	62,5	92,5	65	92,5
	10	67,5	82,5	100	100

Применение Н-критерия оправдано если:

• О характеристических функциях принадлежности ситуаций ничего не известно;

• Решение реализуется один или небольшое число раз;

• Риск оправдан необходимостью получения предельного и менее выигрыша.

Сократим таблицу 14.5 до двух первых столбцов и .

Выбор их обусловлен наличием в одном из них выбранного выигрыша и высокой вероятностью появления ситуации для второго.

Графическая интерпретация H-критерия приведена на рис. 14.8 ( =88).

Функция предпочтения задается на основе оценочной функции рассматриваемого критерия. В данном случае для двух ситуаций

.

Рис. 14.8. Функция предпочтения критерия придельного оптимизма

Уравнение задает конус, грани которого параллельны осям ординат. Но по сравнению с ММ – критерием конус предпочтения как бы вывернулся. Если есть хоть одна точка выше или правее него, то необходимо увеличивать . На рис. 14.8 =88, выше есть две точки, поэтому необходимо увеличивать . Вершина конуса движется по направляющей являющейся биссектрисой угла оси ординат – функция u.

Критерий Сэвиджа (S-критерий) предполагает все ситуации равно вероятными и стремится снизить потери, которые могут возникнуть при выборе решения не оптимального для данной ситуации.

Такое целевое устремление требует преобразования матрицы, появляется связь между данными внутри столбца.

Новые компоненты новой матрицы решений имеют отличный от начального смысл.

.

Рассмотрим это преобразование на примере матрицы решений таб. 14.5.

Выходной результат представлен в таблице 14.21.

Новые элементы таблицы приобрели вид по сути потерь, от принятых решений, если выпала ситуация, в которой априори можно было принять лучшее решение. Оптимальным решением для данной ситуации является решение с нулевым значением .

Таблица 14.21

	0	12,5	30	37,5
	25	10	15	32,5
	40	5	0	35
	50	0	10	0

Далее схема действий аналогична схеме минимаксного критерия. Ищем наихудший результат в строках. Компоненты изменились по смыслу, это не выигрыши а потери, поэтому min меняется на max и наоборот.

Критерий предполагает формирование столбца оценочной функции с наибольшими потерями, которые предполагает выбранное решение относительно наилучшего при его реализации в конкретной ситуации.

.

Далее минимизируются потери от возможных решений.

Его критерий .

А схема выбора решения

.

Результаты действий приведены в таблице 14.22.

Таблица 14.22

	0	12,5	30	37,5	37,5
	25	10	15	32,5	32,5
	40	5	0	35	40
	50	0	10	0	50

Решение дающее гарантию минимальных потерь относительно оптимальных решений, которые могли бы быть приняты, если бы априори была известна ситуация их реализации, - .

Формула критерия Сэвиджа звучит следующим образом:

Выбирается множество оптимальных вариантов , которое содержит варианты , принадлежащие множеству и оценка минимальна среди всех оценок потерь от выбора не наилучших решений при конкретной ситуации.

Применение S - критерия оправдано при сложных условиях анализа близких по выигрышу решений. Критерий допускает риск в исходной матрице решений , но в матрице потерь риск исключается. Можно сказать так, мы не знали что случится, но мы проиграли меньше, чем могли бы от действий наилучшего в данной ситуации противника.

Графическая интерпретация S - критерия для матрице потерь аналогична минимаксной, т. к. данный критерий использует в матрице потерь схему минимаксного критерия.

В исходной матрице построение усложняется тем что оси переворачиваются и смещаются. Это разрывает конус предпочтения минимаксного критерия и переворачивает его. Появляются две зоны, в которых ищутся решения.

Критерий произведений (P-критерий) не часто применяется в технических задачах, но его своеобразность, слабая связь с выше описанными позволяет его так же отнести к классическим.

Оценочная функция по строкам формируется как произведение выигрышей. Мы, что бы не потерять размерность и наглядность, извлечем из полученного результата еще и корень размерности типов ситуаций. Положение максимума при этом не меняется.

.

Рассмотрим формирование нового столбца на примере матрицы решений таб. 14.5. Выходной результат представлен в таблице 14.23.

Критерий предполагает формирование столбца оценочной функции с выровненными выигрышами, которые дает выбранное решение.

Оценочная функция в приведенной форме дает лучшие результаты при примерном равенстве выигрышей в строке. Это свойство среднего геометрического хорошо известно.

Таблица 14.23

	60	55	62,5	62,5	59,92
	35	57,5	77,5	67,5	56,96
	20	62,5	92,5	65	52,36
	10	67,5	82,5	100	48,58

Используют и логарифмическую форму представления оценочной функции критерия произведений.

.

Ее максимум так же совпадает с максимумом . Поэтому финишный результат не меняется. Выбор за исследователем.

Далее ищется лучший вариант в столбце и определяется номер решения.

Критерий .

А схема выбора решения

.

В приведенном примере критерий произведений рекомендует решение (таблица 14.23). В данном случае оно совпало с минимаксным.

Формула критерия произведений звучит следующим образом:

Выбирается множество оптимальных вариантов , которое содержит варианты , принадлежащие множеству и оценка максимальна среди всех оценок произведений полезности от любого из решений.

Применение P - критерия рекомендуется в следующих условиях:

• Все последствия решений положительны;

• Все ситуации примерно равновероятны и с каждым из них необходимо считаться в равной мере;

• Критерий применим в основном при малом числе реализаций;

• Риск допускается.

Ограничение на положительность, вернее на однородность знака компонентов матрицы решений можно ослабить. Для этого вводится постоянная составляющая, т. е. ко всем компонентам прибавляется смещение. Однако следует учитывать то, что уровень постоянной составляющей может нивелировать сглаживающее действие критерия и номер решения измениться.

Графическое представление операции выбора решения выполним на тех же данных, которые использовались при анализе BL-критерия.

Функция предпочтения задается на основе оценочной функции рассматриваемого критерия. В данном случае для двух ситуаций

,

где - текущий уровень выигрыша. Это семейство гипербол

.

Эти гиперболы прилегают к лучам конуса предпочтения ММ – критерия.

Рис. 14.9. Функция предпочтения для критерия произведений

Так как мы максимализируем результат, то, если есть хоть одна точка выше или правее данной линии необходимо увеличивать .

Направляющая должна совпадать по направлению с движением точек функции предпочтения при увеличении и проходить через вершину конуса предпочтения. Это биссектриса осей ординат.

На рис. 14.9 приведены полученные графики. Функция предпочтения прорисована дважды при 300000 - и при 100000 - . В первом случае оптимальное решение определено однозначно (в полуплоскости одна точка), во втором изменение необходимо продолжать.

Расширенный минимаксный критерий. Данный критерий более сложен и содержит в себе действия более характерные, например, BL-критерию. По сути по ММ-критерию он создает только расчетную ситуацию. Данная схема принятия решения допускает определенный риск.

Пусть информация о виде характеристических функций принадлежности выбранных ситуаций общему пространству возможных внешних событий не полная. Можно говорить о семействе векторов описаний ситуаций или о множестве - мерных векторов .

Пусть по каждому вектору принимаются решения , . Появляется вероятность , отображающая частоту принятия решения .

Среднее значение выигрыша получено в множестве .

Целью применения критерия является выбор оптимального вектора генерации решений .

Схема расширенного минимаксного критерия выглядит как

.

Она ориентируется на наихудшее распределение из и при этом ищет лучший вариант.

Рассмотренные классические критерии можно сравнить между собой прежде всего по виду целевой функции, который зависит от точки зрения эксперта или заложенного в систему принципа сохранения функционирования.

Практически все примеры выбрали различные решения:

• - ММ-критерий;

• - BL-критерий;

• - H-критерий;

• - P-критерий;

• - S-критерий.

Это естественно, так как все возможные решения имеют смысл и целесообразны в том или ином случае.

Производные критерии принятия решений. Формирование производных критериев идет в основном по двум схемам:

• Формирование оценочной функции как взвешенной суммы оценочных функций классических критериев;

• Установление по базовому критерию нижнего уровня риска и введение допуска на его превышение. Далее по более обнадеживающему критерию поиск нового решения в пределах установленного допуска. Чаще всего это - Байеса – Лапласа (BL-критерий).

Критерий Гурвица. Критерий HW предполагает формирование оценочной функции как

комбинации минимаксной и предельно оптимистической функций.

,

где - весовой множитель.

Критерий HW

.

А схема принятия решения

.

Правило выбора по HW-критерию:

Матрица решений дополняется столбцом, содержащим линейную комбинацию наибольшего и наименьшего для каждой строки. Выбираются те варианты , в строках которых находятся наибольшие элементы этого столбца.

Весовой множитель (0...1) определяет степень доверия к ММ-критерию относительно критерия азартного игрока.

Обычно рекомендуют применять данный критерий, если

• о вероятности появления событий ничего не известно, поэтому в равной мере надо считаться со всеми,

• реализуется небольшое количество решений,

• риск допускается.

Критерий Ходжа – Лемана (HL-критерий) формирует оценочную функцию, как линейную комбинацию функций MM- и BL-критериев.

,

где - (0...1) весовой множитель характеризующий степень доверия к BL-критерию относительно MM-критерия.

Критерий HW . А схема принятия решения

.

Правило выбора по HL-критерию:

Матрица решений дополняется столбцом, содержащим линейную комбинацию среднего и наименьшего для каждой строки. Выбираются те варианты , в строках которых находятся наибольшие элементы этого столбца.

• Критерий полагает многократное применение решения, стремится поднять средний выигрыш, но с ограничением на риск, выраженным через степень доверия к BL – критерию.

Критерий Геймейера (G-критерий) ориентирован на выбор среди близких по эффективности решений и матрицу решений представленной потерями. Для распознавания важен, как опорный.

.

Критерий G .

А схема принятия решения

.

Наиболее определен он в расходных экономических задачах. В распознавании учитывает статистику. При const он превращается в ММ-критерий.

При наличии в исходной матрице решений 0, все компоненты матрицы могут быть уменьшены на определенную величину. Не надо стремиться выбрать ее большой, т. к. введение смещения может изменить результат итогового выбора.

В отличии от ММ-критерия данный учитывает вероятность появления ситуаций и устраняет риск пропуска наиболее неблагоприятной ситуации с учетом вероятности ее появления. Устраняется риск в многократно повторяющемся решении. Таким образом расширяется действие ММ-критерия.

BL(MM) критерий. Данный критерий относится ко второй группе производных критериев. Критерии этого типа получили название составных.

Его база – ММ-критерий.

Опорное значение получается, как оценочная функция

,

где , - индексы оптимального решения, принятого по ММ-критерию и ситуации, которая определила это решение.

Далее вводится некоторый допуск на риск >0, который позволяет отсортировать решения, последующее использование которых не должно дать больших потерь, относительно опорного, чем допускаемые.

На практике один из вариантов пересортировки заключается в выборе индексов удовлетворяющих оговоренному условию (подмножество множества индексов {1, ..., i, ..., m}) и вычеркивании строк с прочими индексами.

.

Не редко, что бы оправдать риск, из оставшихся берут в расчет только явно прибыльные решения. Например, требуют что бы в выбранной строке (решение, претендующее на включение в новую матрицу) имелся выигрыш превышающий максимальный выигрыш, который есть в опорной строке и это превышение было большим чем максимальный проигрыш относительно опорного, который также есть в этой строке.

где - наибольшие возможные потери при принятии в сравнении с задаваемыми ММ-критерием.

Схема принятия решения

.

Правило выбора трактуется следующим образом.

По ММ – критерию определяется планируемый выигрыш – опорное значение и опорное решение.

Матрица решений дополняется тремя столбцами.

• В первом записываются математические ожидания строк.

• Во втором разности между опорным значением и наименьшим значением выигрыша в строке (проигрыш от опорного).

• В третьем столбце формируются разности между наибольшим выигрышем в рассматриваемой строке и наибольшим значением выигрыша в опорной строке.

• Выбираются те строки, у которых значения во втором столбце меньше допуска.

• Из выбранных строк выбираются только те, у которых значения в третьем столбце выше значений во втором столбце.

• В новой матрице ищут решения по BL – критерию.

Если новая матрица не содержит строк оптимальным решением становится опорное.

Критерий рекомендуется применять если

• Вероятности появления ситуаций определены с большими доверительными интервалами;

• Необходимо считаться со всеми ситуациями;

• Допускается риск и допуск задан;

• Решение планируется применить неоднократно.

Пример; Пусть =25. ММ-критерий дает опорное решение и = 55.

Таблица 14.24

	0,1	0,08	0,75	0,07
	60	55	62,5	62,5	55	61,65
	35	57,5	97,5	67,5	35	85,95
	20	62,5	92,5	65	20	73,25
	10	67,5	82,5	120	10

Четвертая строка не допускается ( ) и вычеркивается из дальнейшего анализа. В оставшихся строках выполняются оба условия. Оптимальным считается решение .

Критериев построенных по данной схеме несколько. Каждый из них имеет разновидности, особенно в плане формулировки определения эффективности включаемого в новую матрицу решения по сравнению с опорным.

Эти критерии, как правило, при определенном значении параметров, допусков и т. п. переходят в классические.

Существует и общий подход к построению гибких критерием, обобщающий известные.

Гибкий критерий принятия решения. Рассмотренный ниже критерий детально с примерами применения в технических задачах приведен в работе Мушака-Мюллера. Представим его в несколько упрощенном виде.

Схема принятия решения

,

где , - условные ограничения, а - -гибкий критерий принятия решения.

Рассмотрим их по отдельности. Первое условие задает ограничение на достоверность априорных данных об оценках характеристических функций принадлежности выбранных ситуаций общему пространству возможных внешних ситуаций. Это ограничение выглядит в одном из вариантов, как

,

где - доверительный фактор, например, эмпирический определяемый на основании упорядоченной выборки по формуле

,

где - минимальное (наиболее не благоприятное) значение параметра, отобранное для - решения, - оценка математического ожидания данного параметра, - наиболее неблагоприятная для последствий решения граница оценки математического ожидания при заданной вероятности ошибки принятия решения о значении . Доверительный фактор изменяется от 0 до 1. Верхнее значение соответствует достоверной информации о величине . Доверительный фактор вычисляется для каждой строки, таким образом он индивидуален для каждого решения. Индивидуально и определение . Для каждого решения, как правило, есть свой наиболее не благоприятный фактор – ситуация ( ).

Выше сказанное говорит о том, что при анализе эмпирических данных стремятся прижаться к нижней, наиболее неблагоприятной границе оценки параметров, что бы обеспечить достоверность ММ-критерия.

- максимально допустимый доверительный фактор. При его достижении вес BL-критерия не повышается.

Второе ограничение , по сути является допуском на превышение опорного значения риска определяемого согласно ММ-критерия.

Оба ограничения учитываются в схеме решения по или. Их использование зависит от объема экспериментальных, а при применении отличной от написанной формулировки доверительного интервала вообще априорных данных о функциях принадлежности ситуаций.

Возможна и проверка обеих ограничений. Строки, не удовлетворяющие ограничениям, из расчетов исключаются.

Гибкий критерий принятия решения находит максимум от оценочной функции, близкой к функции BL (MM)-критерия.

.

Вновь доверительный фактор, теперь он играет роль коэффициента доверия BL-критерия.

Рассмотрим более детально его специфику. Доверительный фактор опирается на наиболее не благоприятную ситуацию или ее параметр при принятии конкретного решения.

В целом - матрица случайных чисел для каждого и . Как правило факторы влияющие на полезность решения разбивают на зоны, формируя в множестве ( ) подмножества , где - порядковый номер подмножества. Однако, редко это дробление настолько мелко, что бы обеспечить .

Даже в однокритериальных задачах в каждой ячейке матрицы решений находится случайная функция какого либо параметра.

При превышении приращения параметра определенной границы меняется номер - и как следствие номер ситуации . Таким образом, в общем поле матрицы имеются зоны влияния одного параметра, его изменение меняет и номер ситуации и в более малом масштабе последствия решения при ситуации .

Влияние этого параметра на последствие решения оценивается его релевантностью или одной из ее форм - коэффициентом влияния. Детально это свойство рассматривается в теории чувствительности, достаточно детально проработанной в технических приложениях, например, в схемотехнике электронных устройств.

Если рассмотреть гладкую, без смена знака, однопараметрическую релевантность и вернуть ее зависимость от параметра в зоне решения при возникновении ситуации - можно получить упрощенную числовую оценку абсолютной релевантности в данной точке.

,

где - смещение параметра в рассматриваемой зоне.

В качестве точки исследования выбирается обычно точка, выносимая при формировании минимаксного решения в столбец оценочной функции.

Значимость выбранного параметра вычисляют с учетом энтропии параметра , зависящей от вероятности появления смещения .

,

где значение энтропии вычисляется по формуле

.

Исследовав влияние различных параметров, выбирают или комбинацию параметров, наиболее влияющих на .

Надо заметить то, что математические модели используемые в ТР достаточно громоздки, можно сказать здесь идет «разгул» статистики, так как нечеткость постановки самой задачи переплетается с нечеткостью определения элементов матрицы решений, описаний ситуаций, да и самих решений.

Трактовка метрики пространств параметров в понятиях предметной области, для которой ведется анализ возможных решений и их последствий, еще более усложняет понимание правильности выводов теоретических концепций.

Упрощение моделей позволяет нам выдержать понятийный уровень методик решения задач.

Введение автоматического определения коэффициента доверия BL-критерия делает гибкие алгоритмы не зависимыми от человека, способными функционировать в автономном режиме.

Конкурирующий с BL-критерием, ММ-критерий также видоизменен. В его формулировку введено смещение .

,

где - индивидуальный допуск на превышение минимального значения выигрыша в - решении.

Здесь проведена не сортировка решений, а повышен уровень возможного выигрыша индивидуальный для каждого решения.

В принципе в полном объеме гибкий критерий Мушака-Мюллера включает и вычеркивание строк не допустимых решений.

Рассмотренный критерий позволяет рассматривать задачи с конкретными условиями и ориентироваться практически только на те эксперименты, измерения которые проведены для решения данной задачи.

Он более пригоден для автоматизации, практически все его параметры вычисляются по результатам наблюдений за исследуемым процессом. Он обладает и признаками самоорганизации.

Адаптивный критерий Кофлера-Менга. Данный критерий по своей сути близок к минимаксному, но несколько усложнен. Анализ данного критерия говорит о «бирнуллизации» ММ-критерия. По Бернулли при поиске оптимального решения стремятся максимализировать математическое ожидание результата.

По критерию Кофлера-Менга в распоряжении системы принимающей решение имеется и постоянно дополняется информация о виде и параметрах вероятностных распределений внешних ситуаций.

Предлагается разбить пространство множеств вероятностных распределений на непересекающиеся подмножества .

, ø для ( , - 1, 2, ...).

Вводятся оценки , адаптивно изменяющиеся, вероятностей появления .

, .

При появлении ситуации и принятии решения его результат желательно максимализировать выбором .

Критерий Кофлера-Менга (КМ-критерий) записывается в виде

,

где - полное информационное множество, достаточное для принятия решения с максимальной достоверностью его оптимальности, - нижняя в смысле выигрыша (наихудшего результата) граница пространства .

Множество априорных вероятностных распределений образует конечномерный симплекс.

Частичная информация состоит в знании собственного подсимплекса (не вырождающегося до одного распределения) .

При реализации решения может учитываться релевантности выделенной ситуации к изменению объема информации.