37. Асимптоты. Вертикальные, горизонтальные, наклонные. Их нахождение.

Прямая а назыв асимптотой (линией, к котор стремится ф-ия) y=f(x), если расст-е (дельта)δ от перемен (.)М до этой прямой при удал (.)М по прямой в бесконечн стремится к 0.

Вертикальная – прям с ур-ем х=а, если: lim _x->a- f(x)= ∞, либо lim _x->a+ f(x)= ∞.

Горизонтальн – прям с ур-ем у=b, если lim _x->+∞ f(x)= b, либо lim _x->-∞ f(x)= b.

Наклон – y=kx+b. K= lim_х->∞ f(x)/х. B lim_х->∞ =f(x) – kx.

Замеч: если k=0, то y=b.

38. Наибольшее и наименьшее значения ф-ии непрерывной на отрезке. Общий план исследования ф-ий и построения их графиков.

Общий план: 1) Опред ООФ,ОЗФ. 2) Опред (.)разрыва и их классифик. 3) Опред четн/нечетн/периодичн ф-ии. 4) Опред (.) пересеч с осями координат. 5) Нахожд производн ф-ии 1-ой и 2-ой. 6) Нахожд стационарн (.) – первю производную приравнять к 0. 7) Опред интервалов возраст и убыв-я ф-ии. 8) Нахожд (.)max и min, вычисл знач ф-ии в этих (.), вычисл знач ф-ии на конц интерв, если ф-ия задана в замкнут интервале, нахожд наиб и наим знач ф-ии. 9) Нахожд (.) перегиба, интервалов выпуклости и вогнтости кривой. 10) Нахожд асимптот графика ф-ии.

Нахожд наиб и наим знач ф-ии непрерывн на отр-ке: 1) Найти все max и min на [a,b]. 2) Опр-ть знач-е ф-ии на концах интервала f(a) и f(b). 3) Из всех maxи знач ф-ии f(a) и f(b) выбрать наиб – это и будет наиб знач ф-ии на [a,b]. 4) Из всех min и знач ф-ии f(a) и f(b) выбрать наим – это и есть наим знач ф-ии на [a,b].

39. Функции нескольких переменных (фнп). Определения. Ооф. Геометрич смысл.

Опр: Если в кач-ве Х взято Х€R_n, где n>1, а в кач-ке Y Y€R₁, то X-^t->Y назыв ф-ей n-переменных. Z=f(x,y).

Опр: Совокупн Х и У при кот Z=f(x,y) сущ и опред и имеет смысл назыв ООФ или обл сущ ф-ии.

ООФ предст собой часть пл-сти, огранич некот линией. Иногда Д-вся плоскость.

Линия, огранич ООФ назыв границей области. Точки обл, не леж на границе назыв внутр точками.

Обл, сост из одних внутр(.) назыв открытой или незамкнутой. Если же к обл относ и (.)границы, то обл назыв замкнутой.

Обл назыв огранич, если сущ такое постоян число С>0, что расст любой (.)М области от начала координат <С. |OM|<C (О-нач коорд)

Для ф-ии 3-х перемен облопр – некот часть прост-ва (x,y,z) – в част случае все 3-хмерное прост-во.

ООФ на 4 и более нельзя предст наглядно.

Геометр смысл: Z=const, то в прост-ве образ пл-сть || xOy и отст от нее на расст С. Z=f(x,y) в прост-ве опред поверхн.

Совокупн (.) пл-сти xOy удовлетв ур-ю f(x,y)=С назыв линией уровня. Придавая С различн знач с опред шагом можно на пл-сти изобр ф-ию 2 перемен.(рельеф на геогр карте)

40. Линии уровня, градиент для ф-ии 2-х переменных.

Опр: Совокупн (.)пл-сти хОу удовл ур-ю f(x,y)=C – линия уровня. Придавая С различн знач с опред шагом можно на пл-сти изобр ф-ию 2 перемен.(рельеф на геогр карте)

Опред: Градиентом ф-ии Z=f(x,y) назыв вектор gradZ= f(x,y) или dz/dx;dz/dy. Градиент ф-ии указ напр-е макс возраст ф-ии в данн точке. |gradZ|=((dz/dx)²-(dz/dy)²)^1/2

Чем больше модуль градиента, тем больше скорость возраст ф-ии, т.е. тем круче подъем.

Градиент ф-ии лежит в пл-сти ХоУ и перпендикуляр к линии ур-я.

(чем ближе кольца друг к другу, тем быстрее возраст, куда направл стрелы, там и возрастает)