- •35. Исследование функции на интервале монотонности. Экстремум ф-ии необходимое и достаточное условие экстремума.
- •37. Асимптоты. Вертикальные, горизонтальные, наклонные. Их нахождение.
- •38. Наибольшее и наименьшее значения ф-ии непрерывной на отрезке. Общий план исследования ф-ий и построения их графиков.
- •39. Функции нескольких переменных (фнп). Определения. Ооф. Геометрич смысл.
- •40. Линии уровня, градиент для ф-ии 2-х переменных.
- •41. Частное и полное приращение ф-ии. Предел ф-ии 2-х переменных. Непрерывность фнп.
- •42. Частные производные фнп.
- •43. Дифференциалы фнп.
- •44. Дифференцирование сложной ф-ии нескольких переменных.
- •45. Производных высших порядков для 2-х переменных.
- •46. Экстремум ф-ии 2-х переменных. Необходимое условие существ-я экстремума.
- •47. Достаточное усл-е существ-я экстремума для ф-ии 2-х переменных.
- •48. Первообразная и неопределенный интеграл.
- •49. Свойства неопределенного интеграла.
- •50. Таблица неопределенных интегралов.
- •51. Методы интегрирования. Непосредственное интегрирование. Метод подставки. Интегрирование по частям.
- •52. Интегрирование простейших дробей.
- •53. Разложение рациональных дробей на простейшие. Интегрирование рациональных дробей. Метод неопределенных коэффициентов.
- •54. Интегрирование простейших иррациональных выражений.
- •55. Интегрирование тригонометрических функций. Универсальная тригонометрическая подстановка.
- •56. Интегральные суммы. Понятие определенного интеграла.
- •57. Связь неопределенного интеграла с определенным. Формула Ньютона-Лейбница.
- •58. Свойства определенного интеграла.
- •59. Вычисление определенного интеграла по частям.
- •60. Замена переменной в определенном интеграле.
- •61. Несобственные интегралы с ∞-ми пределами.
- •62. Несобственные интегралы от разрывных функций.
41. Частное и полное приращение ф-ии. Предел ф-ии 2-х переменных. Непрерывность фнп.
Z=f(x,y)
Y=const=y0=> Z=f(x, y0)
Пусть х,…дельта хn=> дельта хZ=f(x+дельта х, y) – f(x,y) – частное приращение ф-ии Z, вызв изменением х. Аналогично с у.
Опр: Величина дельта Z=( x+дельта х, y+дельта y) – f(x,y). В общ случае дельт Z ≠ дельта хZ+ дельта yZ. Только для пл-сти м.б. ровно.
Окрестностью радиуса дельта в точке М0(x0,y0) назыв совокупность всех (.) пл-сти удовлетворяющих нерав-ву ((x-x0)2+(y-y0)2)1/2<дельта.
Число А назыв пределом ф-ии Z=f(x,y) при стремлении (.)М (x,y) к (.)М0(x0, y0), если для любого ζ>0сущест такое δ>0, что как только ((x-x0)2+(y-y0)2)1/2< ζ.
Lim f(x,y)=A (x=>x0, y=>y0) – по любой траектории в пределах D.
Пусть (.)М0(x0, y0)€D. Z=f(x,y).
Опр: ф-ия Z=f(x,y) назыв непрерывной в (.)М0(x0, y0), если имеет место рав-во: limx=>x0, y=>y0 f(x,y)=f(x0, y0) – по любой траектории в пределах D.
Ф-ия непрерывная в кажд (.) некотор обл назыв непрерывной в этой обл.
Если у некот (.)N(x0, y0) не выполн усл непрерывн-сти (1), то (.)N назыв (.) разр ф-ии Z=f(x,y).
42. Частные производные фнп.
Частн производн по х от ф-ии Z=f(x,y) назыв предел отношения частного приращения ф-ии δxZ приращению аргумента δx при стремлении δx=>0. Обозн Z`x, f`x(x,y), dz|dx, df|dx. Z`x=limδx=>0 (дельта)δxZ|δx= limδx=>0 f(x+ дельта х, y) – f(x,y)/дельта х. (символ dz|dx не явл дробью) Аналогично для У.
43. Дифференциалы фнп.
Частным дифференциалом ф-ии 2х переменных назыв произвед-е частн производн на приращение соотв аргумента dxz=dz|dx*дельтаХ. Частный дифференциал ФНП явл главной частью частного приращения ф-ии: дельтаХZ=dxZ+02 или дельтаХZ=(приблизит) dxZ. Аналогично для У.
Полный дифференциал: dz=df(x,y)|dx*дельта х + df(x,y)|dy*дельта y = dxz + dyz.
Полный дифференциал ф-ии 2х перемен есть главн часть полн приращ ф-ии линейн относит приращения независ переменных: дельтаZ=dZ+02, дельтаZ=dZ.
При х=Z из форм полн дифф имеем => dz=1*дельтах +0*дельтау=дельтах. Аналогично для У.
Dz= df(x,y)|dx*dх + df(x,y)|dy*dy
44. Дифференцирование сложной ф-ии нескольких переменных.
1. Пусть Z=f(x,y,t), где x=φ(t), y=ψ(t). Z=f[φ(t), ψ(t), t]
Можно дифференц как обычн сложн ф-ю по t. Можно выраз dz|dt через частн производн: dz|dt=dz|dx*dx|dt+dz|dy*dy|dt+dz|dt.
Производная dz|dt определ-я выраж (3) через частные производн назыв полной производной. Эта формла явл обобщением ф-лы дифферен-я сложн ф-ии одной перемен и для ФНП.
Dz|dt – частн производн(хоть х и у зависят от t, при дифференц остаются постоян)
dz|dx= dz|dx+dz|dy* dy|dх.
2. Z=f(x,y,t,s), где х= φ(t,s), y= ψ(t,s), t,s – независ перемен, x,y – промежуточн аргумент.
(полн) - dz|dt=dz|dx*dx|dt+dz|dy*dy|dt+(dz|dt). (частн) - dz|ds=dz|dx*dx|ds+dz|dy*dy|ds+(dz|ds).
Формальн ичастн производн назыв частн произв, сост с учетом только непосредств завис-ти ф-ии от перемен дифференц при нахожд формальн частн произв х и у счит-ся постоянными (то, что в круглых скобках)
Опр: Полн частн произв назыв частн производн, сост с учетом зависимости ф-ии от перемен дифференц-я через все промежуточ аргменты.