45. Производных высших порядков для 2-х переменных.

Z=f(x,y). Частн производн dz|dx = f`<sub>x</sub>(x,y), dz|dy=f`_y(x,y). Также явл ф-ми от х и . Если они непрерывны и дифф-мы, то от них можно снова наход производн.

D|dx(dz|dx)=d²z|dx²=f``_xx(x,y) – вторая частн произ взятая по х 2 раза или частн произв 2-го порядка по х.

D|dy(dz|dx)=d²z|dxdy=f``_xy(x,y) – вторая частн произ взятая по х и по y или смешан произв 2-го порядка по х.

D|dx(dz|dy)=d²z|dxdy=f``_yx(x,y) – вторая частн произ взятая по y и по x или смешан произв 2-го порядка по х.

D|dy(dz|dy)=d²z|dy²=f``_yy(x,y) – вторая частн произ взятая по y 2 раза или частн произв 2-го порядка по х.

Всего для ф-ии 2х перемен сущ 4 частн производн 2 пор-ка

Теор: Если смеш рпоизводн непрерывн, то порядок дифференц-я безразличен. Z``<sub>xy</sub>=Z``_yx

46. Экстремум ф-ии 2-х переменных. Необходимое условие существ-я экстремума.

Точка M0(x0,y0) является точкой максимума (минимума) функции

z = f(x,y), если найдется такая окрестность точки M0, что для всех точек M(x,y) из

этой окрестности выполняется неравенство f(x,y)< f(x0,y0) ( f(x,y)> f(x0,y0)).

Точки максимума и минимума называются точками экстремума.

Сформулируем необходимое условие экстремума. Если в точке

экстремума существует первая частная производная (по какому-либо

аргументу), то она равна нулю.

Точки экстремума дифференцируемой функции (то есть функции,

имеющей непрерывные частные производные во всех точках некоторой области)

надо искать только среди тех точек, в которых все первые частные производные

равны нулю.

Там, где выполняется необходимое условие, экстремума может и не быть

(здесь полная аналогия с функцией одной переменной).

Пример:

z = xy;

z`_x = y;

z`_y = x;

z`_x (0,0) = 0;

z`_y (0,0) = 0.

Обе частные производные в точке (0,0) обращаются в 0. Однако точка (0,0)

не является точкой экстремума, так как в ней самой z = 0, а в любой её

окрестности есть точки, где z(x,y) > 0 (это точки, лежащие внутри первого и

третьего координатных углов), и есть точки, где z(x,y) < 0 (это точки, лежащие

внутри второго и четвертого координатных углов).

Теорема 1 (необходимые условия экстремума). Если в точке N₀(x₀;y₀) дифференцируемая функция z=f(x,y) имеет экстремум, то ее частные производные в этой точке равны нулю: f'_x(x₀;y₀)=0, f'_y=(x₀;y₀)=0.

Точка в которой частные производные первого порядка функции z=f(x,y) равны нулю, т.е. f'_x=0, f'_y=0, называется стационарной точкой функции z (или точкой возможного экстремума). Стационарные точки и точки, в которых хотя бы одна частная производная не существует называется критическими точками. В критических точках функция может иметь экстремума, а может не иметь. Равенство нулю частных производных является необходимым, но недостаточным условием существования экстремума. Для нахождения экстремумов функции в данной области необходимо критическую точку функции подвергнуть дополнительному исследованию.

47. Достаточное усл-е существ-я экстремума для ф-ии 2-х переменных.

Пусть в стационарной точке (х_о;у_о) и некоторой ее окрестности функция ƒ(х;у) имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно. Вычислим в точке (х₀;у₀) значения A=f''_xx(x₀;y₀), В=ƒ''_xy(х₀;у₀), С=ƒ''_уy(х₀;у₀). Обозначим

Тогда:

1. если Δ > 0, то функция ƒ(х;у) в точке (х₀;у₀) имеет экстремум: максимум, если А < 0; минимум, если А > 0;

2. если Δ < 0, то функция ƒ(х;у) в точке (х₀;у₀) экстремума не имеет.

В случае Δ = 0 экстремум в точке (х₀;у₀) может быть, может не быть. Необходимы дополнительные исследования.