- •1. Задача о брахистохроне
- •2. Основная задача. Обобщение. О численном решении.
- •3.Вариации допустимых кривых и функционала
- •4.Необходимое условие оптимальности в терминах вариации
- •5.Условие Эйлера
- •6. Обсуждение условий Эйлера
- •7. Теорема Гильберта
- •9. Канонические переменные и Каноническая система
- •8. Условие Вейерштрасса-Эрдмана
- •10. Присоединённая задача на минимум. Лемма 1 и 2
- •11. Присоединённая задача на минимум. Уравнение Якоби
- •12. Условие Лежандра-Клебша
- •13. Условие Якоби
- •14. Достаточное условие слабого минимума
- •15. Простейшая задача терминального управления (пзту)
- •16. Формула приращения критерия качества.
- •17. Игольчатая вариация. Оценка приращения траектории
- •18. Принцип максимума (Понкрягина)
- •22. Применение принципа максимума
- •19.Пример в тоу(теория оптимального управления).
- •20. Решение терминальной задачи, методом динамического программирования
- •21.Достаточное условие оптимальности.
11. Присоединённая задача на минимум. Уравнение Якоби
Построим для задачи (2) уравнение Эйлера:
(4)
Это уравнение называется уравнением Якоби вдоль допустимой кривой у.
(4*)
Подсчитаем коэффициенты :
.
12. Условие Лежандра-Клебша
Т. Пусть – слабая минималь ОЗВИ, тогда
Доказательство. Пусть – слабая минималь. Предположим противное: . Поскольку непрерывная функция, то можно считать, что точка -внутренняя и такое малое , что будет выполняться:
(5)
Построим тогда функцию следующим образом:
,
тогда производная
Ч.т.д.
13. Условие Якоби
О. Пусть некоторая зафиксированная допустимая кривая. Составим для неё присоединённую задачу на минимум, построим уравнение Якоби, найдём общее решение: . Исключаем одну из производных постоянных с помощью условия , тогда получим семейство решений: . Если для некоторого с и для некоторой точки , выполняется условие: , то говорят, что точка сопряжена с точкой а, вдоль допустимой кривой у.
Иначе говоря, сопряжена с точкой а, если такое нетривиальное решение уравнения Якоби , что выполняется условие:
где – решение уравнения Якоби (одно из них).
Точки сопряжены с точкой а.
Т. Пусть – неособая слабая минималь ОЗВИ (то есть ), тогда вдоль неё не существует точек сопряжённых с точкой .
14. Достаточное условие слабого минимума
О. Пусть – допустимая кривая. Говорят, что она удовлетворяет усиленному условию Лежандра, если она удовлетворяет условию: .
Допустимая кривая удовлетворяет усиленному условию Якоби, если вдоль неё не существует точек сопряжённых с a, где
Т. Пусть – допустимая кривая и пусть она:
1 является экстремалью,
2 удовлетворяет усиленному условию Лежандра,
3 удовлетворяет усиленному условию Якоби.
Тогда – слабая минималь основной задачи.
15. Простейшая задача терминального управления (пзту)
Пусть имеется некоторый объект, поведение которого изменяется во времени на [ ] ( – начальный момент уравнения, – конечный) и описывает вектор М:
– фазовые координаты объекта
Пусть объект – это ракета, которая запускается на орбиту земли.
Предположим, что вектор x(t) удовлетворяет дифференциальному уравнению: (1)
с начальным условиями: (2),где – функция трёх переменных.
– вектор управляющих воздействий, – начальное положение объекта.
Относительно функции f и u будем считать их такими, что при выборе управления u решение задачи Коши (1)-(2) будет существовать и при чём единственным образом и будем говорить, что управление u(t) будет порождать траекторию x(t).
О. Говорят, что некоторая функция u(t), будет являться допустимым управлением, если:
1 – кусочно-непрерывная функция (функциональном ограничении),
2 , где U – некоторый компакт (замкнутое, ограниченное множество), (это геометрическое ограничение).
Множество всех дифференциальных уравнений будем обозначать
Введём функционал качества управления: положим (3)
где φ(х) – скалярная функция в (каждому вектору из ставит в соответствие некоторое число).
Функционал (3) называется терминальным функционалом, так как он задан на конце траектории объекта. Он неявно зависит от допустимого управления, а через задачу (1)-(2), а именно:
если возьмём некоторое дифференциальное уравнение , подставим его в задачу (1)-(2), решив задачу, получим: затем определим вектор – конечное положение и затем вычислим число , то это и будет цена управления (стоимость).
Простейшая задача терминального управления:
(4)