- •1. Задача о брахистохроне
- •2. Основная задача. Обобщение. О численном решении.
- •3.Вариации допустимых кривых и функционала
- •4.Необходимое условие оптимальности в терминах вариации
- •5.Условие Эйлера
- •6. Обсуждение условий Эйлера
- •7. Теорема Гильберта
- •9. Канонические переменные и Каноническая система
- •8. Условие Вейерштрасса-Эрдмана
- •10. Присоединённая задача на минимум. Лемма 1 и 2
- •11. Присоединённая задача на минимум. Уравнение Якоби
- •12. Условие Лежандра-Клебша
- •13. Условие Якоби
- •14. Достаточное условие слабого минимума
- •15. Простейшая задача терминального управления (пзту)
- •16. Формула приращения критерия качества.
- •17. Игольчатая вариация. Оценка приращения траектории
- •18. Принцип максимума (Понкрягина)
- •22. Применение принципа максимума
- •19.Пример в тоу(теория оптимального управления).
- •20. Решение терминальной задачи, методом динамического программирования
- •21.Достаточное условие оптимальности.
21.Достаточное условие оптимальности.
3 этап. Достаточное условие оптимальности.
Предположим, что мы решили (25) и (26), и построили функцию Беллмана и нашли: (27)
Теорема. Пусть из основного уравнения:
вычислена траектория
Тогда будет оптимальным управлением, если оно является допустимым, то есть кусочно-непрерывным.
Доказательство. Пусть u(t) – управление удовлетворяющее условию теоремы. Тогда поскольку оно удовлетворяет уравнению Беллмана (25), будет выполняться:
(28)
возьмём теперь и пусть , порождённая этим уравнением траектория. Подставляя их в (25) получим:
(29)
Перенеся в (28) и (29) все слагаемые в правую сторону замечаем, что там будет находиться полная производная от функции Беллмана по t, то есть:
(30) (31)
Проинтегрируем (30) и (31) по T, получим:
То есть .
То есть .
А это и означает, что наше управление является оптимальным в терминальной задаче