- •1. Задача о брахистохроне
- •2. Основная задача. Обобщение. О численном решении.
- •3.Вариации допустимых кривых и функционала
- •4.Необходимое условие оптимальности в терминах вариации
- •5.Условие Эйлера
- •6. Обсуждение условий Эйлера
- •7. Теорема Гильберта
- •9. Канонические переменные и Каноническая система
- •8. Условие Вейерштрасса-Эрдмана
- •10. Присоединённая задача на минимум. Лемма 1 и 2
- •11. Присоединённая задача на минимум. Уравнение Якоби
- •12. Условие Лежандра-Клебша
- •13. Условие Якоби
- •14. Достаточное условие слабого минимума
- •15. Простейшая задача терминального управления (пзту)
- •16. Формула приращения критерия качества.
- •17. Игольчатая вариация. Оценка приращения траектории
- •18. Принцип максимума (Понкрягина)
- •22. Применение принципа максимума
- •19.Пример в тоу(теория оптимального управления).
- •20. Решение терминальной задачи, методом динамического программирования
- •21.Достаточное условие оптимальности.
16. Формула приращения критерия качества.
Относительно задачи (1), (2), (3), будем предполагать, что функции являются непрерывными, .
Согласно этим предположениям задача Коши (1)-(2) имеет и, причём единственное решение.
Возьмём некоторое допустимое уравнение (зафиксированное), и рассмотрим произвольное другое управление . И посчитаем, как изменится функционал при переходе .
Тогда управлению u(t) будет соответствовать траектории х(t), а будет соответствовать другая траектория
Рассмотрим: , функции будут называться приращением траектории и управления.
Введём обозначения: . Эта функция называется сопряжённой функцией.
– эта функция называется гамильтоном, а называется приращение гамильтона при переходе .
С учётом этих обозначений для формулы приращения получаем компактную формулу:
(12)
-малое более высокого порядка чем
(12) и есть искомая формула приращения.
17. Игольчатая вариация. Оценка приращения траектории
Пусть дано некоторое допустимое управление . Возьмём некоторую внутреннюю точку , некоторый вектор:
Приращение управления будем выбирать следующим образом:
Построенное приращение управления называется игольчатой вариацией , и, видно, что она изменяет исходное управление лишь на отрезке длинной то есть .
При малых ε она похожа на иголку, отсюда и название.
возьмём некоторое , а потом рассмотрим , и для неё
Т. В результате игольчатой вариации справедлива оценка:
(14)
где К некоторая постоянная.
Доказательство.
Пусть . На этом отрезке
Пусть так как функция f непрерывна по своим аргументам, управление компактно, тогда и траектория компактна:
с начальным условием и оценка К=4М
3 , здесь мы получим дифференциальное уравнение:
Чтд
18. Принцип максимума (Понкрягина)
О. Управление будем называть оптимальным управлением, порождённую им траекторию x(t) будем называть оптимальной траекторией, а вычисленную вдоль них функцию будем называть сопряжённой оптимальной траекторией, если выполняется неравенство:
О. Говорят, что допустимое управление (не обязательно оптимальное) удовлетворяет условию максимума, если вдоль него и его траектории гамильтониан достигает своего наибольшего значения на то есть выполняется:
(15)
Т (Принцип максимума). Каждое оптимальное управление должно удовлетворять условию максимума.
Доказательство. Пусть – оптимальное управление, – оптимальные основная и сопряжённая траектории.
Предположим противное. Что это управление условию максимума не удовлетворяет, то есть:
Перенося всё в левую часть получаем приращение:
Построим игольчатую вариацию , при малом ε с указанными , тогда из формулы приращения получаем:
при достаточно малом ε, отсюда
Это противоречит тому, что допустимое управление (ясно, что в результате игольчатой вариации всегда получаем допустимое управление).
Принцип максимума является самым сильным из необходимых условий оптимальности I-го порядка. Можно доказать, что из него вытекает все остальные условия оптимальности, включая условие Эйлера. Однако в общем случае принцип максимума не даёт достаточного условия оптимальности (за исключением линейных систем), то есть не всякое управление, удовлетворяющее условию максимума, является оптимальным.