7. Призр срав в ф-ме нерав.

{Т} пусть для рядов Σ_n=1a_n (1) и Σ_n=1b_n (2) вып нерав-во 0<=a_n<= b_n n (3) тогда а) если ряд (2) сх то ряд (1) сх б) если ряд (2) расх то ряд (1) расх {Д}а) пусть Σ_n=1b_n сход, тогда по крит. Сход знакопост рядов, его частич сумма огданич сверху S_bn<=I из (3) получаем S_an<=S_bn<=I где S_an частичн сумма ряда (1) т.е она также ограничена сверху и по критерию сходим  ряд Σ_n=1a_n сход. {Д}б) пусть ряд (1) расх докажем что ряд (2) также расх. Если бы ряд (2) сход то по части а) теоремы  ряд (1) тоже должен сходится, что наруш услов т.е (2) расход.

8. Призр срав в ф-ме рав.

{Т}признак срав в пред ф-ме. Пусть для рядов Σ_n=1a_n и Σ_n=1b_n выполн усл: a_n~b_n при n% тогда оба ряда либо сходятся либо расх одинаково. {Д} a_n~b_n при n% lim_n%a_n/b_n=1 >0|a_n/b_n-1|< -< a_n/b_n-1<  -b_n+b_n<a_n<b_n+b_n (1) пусть Σ_n=1a_n сход. Из левой части неравенства (1) и из признака срав в ф-ме неравенства что ряд Σ_n=1b_n(1-)- сход т.е (1-)Σ_n=1b_n сход сход ряд Σ_n=1b_n если Σ_n=1a_n расход тогда из прав части нерав (1) и из принципа сравн в ф-ме нерав ряд Σ_n=1b_n(1+)-расхΣ_n=1b_n расход.

9. Призн Деламбера ф-ме нерав.

{Т} Σ_n=1a_n если вып усл n a_n+1/a_n<=q где q(0 1) то ряд сход а если a_n+1/a_n>=1 то ряд расх. {Д}а) пусть a_n+1/a_n<=q тогда a_n+1<=qa_n<=q² a_n-1<=q³a_n-2<=…<=qⁿa_n т.к ряд qⁿ при |q|<1 сходится, то по призн сравн в ф-ме неравенства ряд Σ_n=1a_n тоже сходится б) пусть a_n+1/a_n>=1 т.е a_n+1>=a_n nпослед {a_n} возрастпо следствию из необход признака ряд рясх.

10. Призн Деламбера в пред ф-ме.

{Т}Пусть выполняется условие lim_n%a_n+1/a_n а) если λ<1 то ряд сход. б) если λ>1 то ряд расх. {Д} пусть lim_n%a_n+1/a_n=λ |a_n+1/a_n-λ|<  -<a_n+1/a_n<  λ-<a_n+1/a_n<λ+ (1) а) пусть λ<1 выберим  таким чтобы λ+<1 тогда a_n+1/a_n<λ+=q<=1 и по признаку Даламбера в форме неравенства ряд сходится. б) пусть λ>1выберим  так чтобы из (1) a_n+1/a_n>λ->1 и по признаку деламб в ф-ме нерав ряд расх. Если λ=1 не применим призн.

11. Признак Коши в ф-ме нерав и в пред ф-ме.

{Т} _n√a_n<=q где q(0 1) тогда ряд сход если _n√a_n>=1 то ряд расх {Д} пусть _n√a_n<=q a_n<=qⁿ т.к Σ_n=1qⁿ сход при q<1 то по признаку сравн в ф-ме неравенства ряд сход Пусть _n√a_n>=1 a_n>=1 по следствию из необх признака рад расходится. (в пред ф-ме) Σ_n=1a_n пусть вып. Услов lim_{n% n}√a_n=λ а) если λ<1 ряд сход б) если λ>1 ряд расх {Д} пусть lim_{n% n}√a_n=λ  | _n√a_n-λ|<  λ-< _n√a_n<λ+ (λ-)ⁿ<a_n<(λ+)ⁿ а) Пусть λ<1 выберем  так чтобы λ+<1 тогда по признаку Коши в форме неравенства ряд сходится. б) пусть λ>1 выберем  так чтобы λ->1 тогда по признаку коши ряд расх. λ=/=1.

12. Абсолют и усл сход рядов.

{O}Знакопеременные ряды Если ряд Σ_n=1a_n схоится а ряд Σ_n=1|a_n | расход то ряд Σ_n=1a_n назыв условно сход рядом Если ряд Σ_n=1a_n и ряд Σ_n=1|a_n | оба сходятся то ряд Σ_n=1a_n наз абсолютно сход рядом. Знакопеременные ряды требуют дот исслед на усл/абс сходимость.

13. Теорема об абс сход рядов.

{Т}если Σ_n=1|a_n | сходится то ряд Σ_n=1a_n сх абсолютно. {Д} рассмотрим ряды Σ_n=1U_n и Σ_n=1V_n где U_n=|a_n|+a_n/2 V_n=|a_n|-a_n/2 можно проверить что U_n<=|a_n| и V_n=<|a_n| по признаку сравн в ф-ме неравенства т.к ряд Σ_n=1|a_n | сход по услов то Σ_n=1U_n и Σ_n=1V_n также сходятся. a_n=U_n-V_n Σ_n=1a_n= Σ_n=1(U_n-V_n) по св-ву 1)(см ниже) рядов ряд Σ_n=1(U_n-V_n) сходится, т.е сходится ряд Σ_n=1a_n (пример Σ_n=1sin(n)/n²-см по модулю-дост призн ого- сход абс.) {св-ва} 1) сумма абсолютно сходящегося ряда рвна алгебр сумме его положит м отриц членов. Для усл сход ряда это наверно. 2)В абс сходящемся ряде члены ряда можно переставлять как угодно от этого смма ряда не измениться. В условно сход ряде перестановка членов может изменить сумму ряда или сделать его расх.(пример Σ_n=1(-1)ⁿ1/n – сход условно.)