25. Теорема Дирихле.

{Т}Пусть ф-ция f(x) удовл условию Дирихле 1)f(x) на (-l l) может иметь лишь нечетное число точек разрыва причем все они 1-го рода. 2)интервал (-l l) может быть разбит на ненечетное число промежутков в каждом из которых f(x) монотонная ф-ция тогда ряд фурье для f(x) на (-l l) сход: 1)в точке где f(x) непрерывна к ф-ции f(x) 2) в точках разрыва к числу f(x-0)+f(x+0)/2

26. Разлож в ряд фурье по sin и cos.

{О} применем к тригоном ряду фурье f(x)=a₀/2+Σ_n=1a_ncosnπx/l+b_nsinnπx/l где из формулы a_n=_a^bf(x)φ_n(x)dx/ _a^bφ_n²(x)dx можно получить след ф-лы a₀=1/l_-l^lf(x)dx a_n=1/l_-l^lf(x)cosnπx/ldx b_n=1/l_-l^lf(x)sinnπx/ldx Если f(x) четная на [-l l] то по св-ву опред интеграла в в симметрич пределах интегрир  a₀=2/l₀^lf(x)dx a_n=2/l₀^lf(x)cosnπx/ldx b_n=0 (sin нечет) аналогично если f(x) начетна на [-l l]  a₀=0 a_n=0 b_n=2/l₀^lf(x)sinnπx/ldx из получ результата  решен задач 1) разложение f(x) в ряд фурье по cos 2) разлож в ряд фурье по sin

27. Ряд фурье в комплексной ф-ме.

{О}cosnπx/l=e^inπx/l­+e_­­­^-iπx/l/2 sinnπx/l=e^inπx/l­-e_­­­^-iπx/l/2i подставим в ряд f(x)=a₀/2+Σ_n=1a_ncosnπx/l+b_nsinnπx/l (1) f(x)=a₀/2+Σ_n=1a_ne^inπx/l­+e_­­­^-iπnx/l/2-ib_ne^inπx/l­-e_­­­^-iπx/l/2=a₀/2+Σ_n=1a_n-ib_ne^inπx/l/2+^­Σ_n=1a_n+ib_ne^-inπx/l/2=|n=-k если n=1 то r=-1 если n=% то k=-% a_n=a_k b_n=b_k|=a₀/2+Σ_n=1a_n-ib_ne^inπx/l/2+^­Σ_n=-1a_n-ib_ne^inπx/l/2=a₀/2+Σ_n=-%a_n-ib_ne^inπx/l/2 (n=/=0) обозначим с₀=a₀/2 с_n=a_n-ib_n в итоге f(x)=Σ_n=-%с_ne^inπx/l {ф-лы вычисл c_n) c_n=1/2(a_n-ib_n)=1/2l(_-l^lf(x)cosnπx/ldx-i_-l^lf(x)sinnπx/ldx)=1/2l_-l^lf(x)(cosnπx/l-isinnπx/l)dx  c_n=1/2l_-l^lf(x) e^-inπx/ldx c₀=a₀/2=1/2l_-l^lf(x)dx. Можно доказать что запись ряда фурье и коэффициентов фурье будет справедлива если показательные ф-ции ряда и коэфф ряда поменять местами знаки + и - . Можно доказать что частями ф-ций 1, e^iπx/l­, e_­­­^2iπx/l,…, e_­­­^-iπx/l,…, e_­­­^-iπx2/l, e_­­­^-iπxn/l образует ортогональная система ф-ций на отрезке [-l l] т.е _-l^le^inπx/l­e^imπx/ldx=0^­ n,mZ, n=/=m

28. Интеграл фурье в действ ф-ме.

{О}Интеграл фурье в отличие от ряда фурье применяется к непереодич ф-циям опред на всей числовой оси и не являюшиеся переодическими {Т}Пусть ф-ция f(x) удовлетв условиям Дирихле на любом промежупке (-l l) и эта ф-ция абсолютно интегрируема на числовой оси (на R) т.е _-%^%|f(t)|dt<% {О}вывод ф-лы Пусть f(x) удовлетв условию дирихле на любом конеч промежу (-l l) l% запишем ряд f(x)=a₀/2+Σ_n=1a_ncosnπx/l+b_nsinnπx/l (1) Подстав в (1) коэфф ряда фурье f(x)=1/2l_-l^lf(t)dt+Σ_n=1π/l((1/π_-l^lf(t)cosnπx/ldt)cosnπx/l+1/π_l^lf(t)sinnπx/ldt)sinnπx/l) l% 1) 1/2l_-l^lf(t)dt<=|св-во опред интеграла|<=1/2l_-ll|f(t)|dt<=|услов абсолют интегрильн ф-ции|<=1/2lM 1/2lM0 f(x)=Σ_n=1π/l((1/π_-l^lf(t)cosnπx/ldt)cosnπx/l+1/π_-l^lf(t)sinnπx/ldt)sinnπx/l) обобщим λ=nπ/l ∆λ=π/l ∆λ=(1+n)π/l=nπ/l=π/l f(x)Σ_n=1∆λ((1/π_-l^lf(t)costλdt)cosxλ+(1/π_l^lf(t)sinλtdt)sinxλ) (1) l% из (1) ₀^%((1/π_-%^%f(t)costλdt)cosxλ+1/π_-%^%f(t)sinλtdt)sinxλ)dλ f(x)= ₀^%((1/π_-%^%f(t)costλdt)cosxλ+1/π_-%^%f(t)sinλtdt)sinxλ)dλ Обозначим a(λ)=1/π_-%^%f(t)costλdt и b(λ)=1/π_-%^%f(t)sinλtdt и получитм f(x)= ₀^%(( a(λ))cosxλ+ b(λ)sinxλ)dλ-интеграл фурье.