20. Условие разлож ф-ции в ряд Тейлора.

{Т} Если f(x) и все её произв огранич в x₀ то lim_n%R_n=0 {Д} Запишем остат член в ф-ме лагранжа. |R_n(x)|=|f⁽ⁿ⁺¹⁾(ξ)/(n+1)!*(x-x₀)ⁿ⁺¹|<=|из усл ограниц произв ξU_(x₀)  lim_n%R_n=0|<=M|x-x₀|ⁿ⁺¹/(n+1)! Где M>0:x|fⁿ⁺¹(x)|<=M доеажим что ряд Σ_n=0(x-x₀)ⁿ⁺¹/(x+1)! сходитсяпо необх признаку lim_n%(x-x₀)ⁿ⁺¹/(x+1)!=0 lim_n%R_n=0

21. Методы разл в ряд Тейлора.

{O}Основ ф-ции e^x=1+x+x²/2!+…+xⁿ/n!+...=Σ_n=0 xⁿ/n! R=% sinx=x-x³/3!+x⁵/5!+…+(-1)ⁿx²ⁿ⁺¹/(2n+1)!+...=Σ_n=0(-1)ⁿx²ⁿ⁺¹/(2n+1)! R=% cosx=1-x²/2!+x⁴/4!+…+(-1)ⁿx²ⁿ/(2n)!+...=Σ_n=0(-1)ⁿx²ⁿ/(2n)! R=% ln(1+x)=x-x²/2+x³/3+…+(-1)ⁿ⁺¹xⁿ/n+...=Σ_n=1(-1)ⁿ⁺¹xⁿ/n x(-1 1) (1+x)^a=1+ax+a(a-1)x²/2!+…+a(a-1)…(a-k+1)x^k/k!+… x(-1 1) при a=-1 (1+x)^-1=1/1+x= Σ_k=0(-1)^kx^k x(-1 1) (метод замен перемен, предв преобраз, почлен дифф)

22. Опред ортогональ сист на отрезке.

{O}Система непрер на отрезке [a b] ф-ций φ₁(x), φ₂(x),…, φ_n(x) наз ортогональной на [a b] если _a^bφ_n(x)φ_m(x)dx=0 n,mN n=/=m (пример орт ½, cosπx/l, sinπx/l,…,cosnπx/l, sinnπx/l… ф-ции ортоганальны на [-l l] _-l^lcosnπx/ldx=0 _-l^lsinnπx/ldx=0 _-l^lsinnπx/lsinmπx/ldx=0 n=/=m _-l^lcosnπx/lcosmπx/ldx=0 n=/=m _-l^lsinnπx/lcosmπx/ldx=0 n=/m 2_-l¹(1/2)²dx=_-l^lsin²nπx/ldx=_-l^lcos²nπx/ldx=l

23. Ряд фурье по орто сист ф-ций на отрезке. Формулы коэфф.

{O}пусть ф-ция f(x) непрерывна не [a b] и {φ_n(x)} ортог сист ф-ций на [a b] то говорят что f(x) разложима в ряд фурье по ортогон ф-циям {φ_n(x)} на [a b] если сушь такая числ послед {a_n} что функц ряд Σ_n=1a_nφ_n(x) сход на [a b] и сумма этого ряда f(x) т.е f(x)=Σ_n=1a_nφ_n(x) (1) x[a b] a_n- назыв коэфф ряда фурье а сам ряд (1) рядом фурье по ортогон сист ф-ции {φ_n(x)} на [a b] коэфф фурье {O} Пусть f(x) непрерывна на [a b] причем xφ_n(x)=/=0 на [a b] и пусть ряд Σ_n=1a_nφ_n(x) схлд равномерно на [a b] к ф-ции f(x) тогда справедл ф-ла a_n=_a^bf(x)φ_n(x)dx/ _a^bφ_n²(x)dx (2) {Д} По теорем е Вейрштрасса о непрер ф-циях на отрезке ф-ция φ_n(x) огранич на [a b] , ряд фурье для этой ф-ции f(x)=Σ_n=1a_nφ_n(x) (3) по усл этот ряд сход равн на [a b] умножим (3) на φ_m(x), f(x)φ_m(x)=Σ_n=1a_nφ_n(x)φ_m(x) можно док что если равномерн сход ряд умножить на огранич ф-цим, то получ ряд также будет равномерно сходится и поэтому по св-ву равномерно сход рядов , такой ряд можно интегрировать почленно. _a^bf(x)φ_m(x)dx=Σ_n=1a_{n a}^bφ_n(x)φ_m(x)dx из опред ортогнальной ф-ции _a^bf(x)φ_m(x)dx=a_{m a}^bφ_n²(x)dx a_m= _a^bf(x)φ_m(x)dx/_a^bφ_n²(x)dx(2)/ {O}{O}применем к тригоном ряду фурье f(x)=a₀/2+Σ_n=1a_ncosnπx/l+b_nsinnπx/l где из формулы (2) можно получить след ф-лы a₀=1/l_-l^lf(x)dx a_n=1/l_-l^lf(x)cosnπx/ldx b_n=1/l_-l^lf(x)sinnπx/ldx Если f(x) четная на [-l l] то по св-ву опред интеграла в в симметрич пределах интегрир  a₀=2/l₀^lf(x)dx a_n=2/l₀^lf(x)cosnπx/ldx b_n=0 (sin нечет) аналогично если f(x) начетна на [-l l]  a₀=0 a_n=0 b_n=2/l₀^lf(x)sinnπx/ldx из получ результата  решен задач 1) разложение f(x) в ряд фурье по cos 2) разлож в ряд фурье по sin.

24. Переод ф-ции и их св-ва.

{O}Из тригоном ряда фурье видно что сумма ряда это переодич ф-ция с периодом 2l число 2l>0 назыв периодом ф-ции g(x) с обл опред D(g) если 1) g(x-2l), g(x+2l) принадлежит области опред ф-ции D(g) 2) выпол услов g(x-2l)=g(x)=g(x+2l) такая ф-ция называется 2l переодич ф-цией. Из (п 23 ОО что в f(x) в тригонометрич ряде фурье это 2l периодич ф-ция 1) любую ф-цию f(x) опред на (a b) можно сделать переодич продлив её вдоль оси Ох влево и в право _.-*’_.-*’_a_.-*’_b_.-*’_x b-a=2l l=b-a/2 {св-ва} 1) Если f(x) -2l переодическая ф-ция то справедливо : _a^bf(x)dx=_a+2l^b+2lf(x)dx {Д} _a^bf(x)dx=|x=z-2l, dx=dz, x=a, z=a+2l, x=b.z=b+2l|= _a+2l^b+2lf(z-2l)dz=|по опред период ф-ции|= _a+2l^b+2lf(x)dx 2)если f(x)-2l периодич то _a-l^a+lf(x)dx=_-l^lf(x)dx {Д} _a-l^a+l=_a-l^-l+_-l^l+_l^a+l=[ _a-l^-l=-_l^a-l=|по св-ву 1)|=-_2l-l^a-l+al=-_l^a+l]=_-l^l Из св-ва 2)  при a=l 0^2lf(x)dx=_-l^lf(x)dx из получ ф-лы  козфф фурье для тригоном ряда можно вычисл в пред от 0 до 2l