41. Как можно реализовать любую из логических функций двух аргументов, а) используя только двухвходовый элемент и-не; б) используя только двухвходовый элемент или-не?

Некоторые элементарные логические функции можно получить, используя другие элементарные функции. В алгебре логики показано, что любую логическую функцию (от любого количества аргументов) можно реализовать, используя лишь небольшой набор функций, обладающий свойством функциональной полноты. Среди логических функций двух аргументов есть две функции, каждая из которых в одиночку образует функционально полную систему. Это функция «ИЛИ-НЕ» и функция «И-НЕ».

Функция И—НЕ определяется

Таблица истинности этой функции показана на рис. 3.1, а, а услов­ное обозначение б. Реализация функции И осуществляется достаточно просто с по­мощью двух последовательно соединенных элементов И—НЕ; пер­вый выполняет операцию И—НЕ, а второй используется как инвер­тор (рис. 3.2).

Функция ИЛИ может быть выражена с помощью операции И—НЕ, выполняемой над отрицаниями переменных. На рис. 3.3, б представлена реали­зация функции ИЛИ на основе элементов И—НЕ.

Функция ИЛИ—НЕ определяется так:

Реализация функции ИЛИ осуществляется путем последователь­ного соединения двух элементов ИЛИ—НЕ, как это показано на рис. 3.9, а. В этой схеме первый элемент выполняет операцию

ИЛИ—НЕ над двумя входными переменными А и В, в то время как второй элемент действует как инвертор.

Схема, реализующая функцию И, строится следующим образом. Так как для ее реализации могут использоваться только элементы ИЛИ—НЕ, на выходе последнего элемента ИЛИ—НЕ должно быть значение функции / = АВ (рис. 3.9, б). Для того чтобы получить такой выходной сигнал, входами элемента ИЛИ—НЕ должны быть А

и В, поскольку А + В — АВ. Завершая формирование схемы, перед элементом ИЛИ—НЕ вводим два таких же элемента, выполняющих операцию отрицания над переменными Л и В, соответственно.

42. Что называют логической глубиной комбинационной схемы. Оцените логическую глубину для заданной вам логической схемы.

Под глубиной (числом уровней) комбинационной схемы (КС) понимается максимальное число логических элементов, расположенных на пути следования сигнала от входов КС к ее выходу. Глубина КС оказывает существенное влияние на быстродействие КС, так как каждый логический элемент обладает внутренней задержкой распространения сигнала. Одно- и двухуровневые КС обладают максимальным быстродействием. Однако они не всегда могут быть использованы, поскольку число входов реальных логических элементов в интегральном исполнении ограничено. Например, конъюнкция четырех аргументов y=x0 & x1 & x2 & x3 может быть реализована комбинацией трех двухвходовых конъюнкторов:

Эта цепь имеет логическую глубину 2.

43. Как можно перевести число, записанное в системе счисления с основанием B, в систему счисления с основанием D?

44. Как выглядит правило сложения чисел, изображенных в двоичной системе счисления? Запишите правила формирования цифр суммы и переноса при сложении двоичных чисел, используя а) таблицу истинности, б) формулы алгебры логики. Затем изобразите схему двоичного одноразрядного сумматора.

45. Назовите основное отличие цифровых логических цепей с памятью от комбинационных цепей: что именно обеспечивает наличие в логической цепи свойства памяти.

Все логические устройства делятся на две категории: 1) комбинационные и 2) устройства с памятью (конечные автоматы или последовательностные цепи). Комбинационные узлы будем обозначать через КЦ (комбинационные цепи), а последователь­ностные через АП (автоматы с памятью). Различия между КЦ и АП имеют фундаментальный характер.

Выходные величины КЦ зависят только от текущего значения входных величин (аргументов). Предыстория значения не имеет. После завершения переходных процессов в КЦ на их выходах устанавливаются выходные величины, на ко­торые характер переходных процессов влияния не оказывает. С этой точки зрения переходные процессы в КЦ не опасны.

Все логические элементы в комбинационной логической схеме действуют без задержек, то сигналы (О₁ 0₂, ... ..., О_т) будут появляться на выходах схемы точно в тот же самый момент, когда подаются сигналы на входы. Более того, сигналы на выходах будут сохраняться до тех пор, пока есть сигналы на вхо­дах. На практике каждый элемент комбинационной логи­ческой схемы имеет конечную задержку, и, следовательно, сигналы на выходах будут появляться через какой-то (свой для каждого вы­хода) интервал после подачи входных сигналов. Для каждого вы­хода задержка будет определяться задержками элементов в схеме и количеством уровней, связанных с этим выходом.

Комбинационные логические устройства отличаются тем, что их выходные сигналы однозначно определяются сигналами на входах устройства в данный момент времени. (с точностью до задержек распространения, т.е. после окончания переходных процессов).

Выходные сигналы схем с памятью определяются не только входными сигналами в данный момент, но и предысторией, т.е. тем, как изменялись входные (некоторые) сигналы в предшествующие моменты времени. В этом и состоит свойство памяти: наблюдая выходной сигнал устройства в данный момент, можно судить о том, как вели себя входные сигналы в прошлом. Появление нового компонента цифровых систем — памяти при­водит к необходимости введения дополнительной переменной, а именно, времени. С появлением памяти стало возможно логические операции выполнять последовательно, так как информация может храниться в памяти и в нужные моменты выбираться оттуда для управления операциями комбинационной логики.

Устройство с памятью можно построить из комбинационных элементов, если межэлементные связи образуют замкнутые контуры (например, выход элемента А подан на вход В, а выход В – на вход А).

Простейший пример устройства с обратной связью, обладающий свойством памяти, приведен на рис. Выход первого дизъюнктора соединен с входом второго, а выход второго с входом первого.

Несложно убедиться, что поведение этой цепи описывается следующей таблицей:

Вход R	Вход S	Выход Q	Выход Q	Примечание
0	0	0	1	Оба указанных состояния одинаково возможны (состояние хранения)
		1	0
1	0	1	0	Запись «нуля»
0	1	0	1	Запись «единицы»
1	1	0	0	Неиспользуемая входная комбинация

Действительно, если предположить, что при входной комбинации S=R=0 состояние выхода Q=0, то, пользуясь данными таблицы логических функций, получим состояние выхода ^Q=1 и можем убедиться, что это значение подтверждает сделанное предположение о том, что Q=0. Аналогично, если предположить, что Q=1, так же придем к тому, что ^Q=0, и что это подтверждает сделанное предположение о Q=1. При любом состоянии выходов, подача комбинации входных сигналов для записи в триггер «единицы» ‑ S=1, R=0, приводит к состоянию Q=1, ^Q=0 и т.д.