14. Системные законы (уравнения) в математической модели цепи. Что они характеризуют? Назовите основные системные законы, позволяющие описывать процессы в электрической цепи.

Закономерности, описывающие поведение элементов цепи - это математические выражения, связывающие между собой переменные, описывающие состояние элемента – токи через выводы элемента и напряжения между выводами этого элемента. Такие математические уравнения называют элементными или компонентными законами. Такие законы могут иметь вид алгебраических или дифференциальных уравнений. Количество таких уравнений для элемента с n выводами равно (n‑1). Системный подход ценен, прежде всего, тем, что он формулирует общесистемные законы, которые улавливают зависимости между отдельными сторонами и свойствами систем. Подчеркнем, что системные законы носят общесистемный характер, то есть они свойственны для систем любой природы. Среди них выделяются: Закон соотношения целого и части – система как целое больше суммы составляющих ее частей. Закон совокупных свойств системы– свойства системы не сводятся к свойствам ее элементов, а являются результатом их интеграции. Закон зависимости свойств системы: две системы, содержащие тождественные элементы, могут быть несхожими по свойствам благодаря различию в характере и структуре связей. Закон простоты и сложности системы, согласно которому, чем проще система, чем из меньшего числа элементов и связей она состоит, тем меньше проявляет она системное качество, и чем сложнее система, тем более непохожим является ее системный эффект по сравнению со свойствами каждого отдельного элемента. Закон ограничения разнообразия системы, который говорит о том, что организованные системы отличаются ограничением разнообразия. Закон равновесия системы: только тогда система находится в равновесии, когда каждый ее элемент находится в состоянии равновесия, определяемом другими элементами. Закон многообразия системных представлений, согласно которому целостность системы никогда не может быть сведена только к одной ее модели. При дополнительных поисках обязательно найдется такая модель системы, которая будет непохожей на предыдущую. Закон продуктивности хаоса, полагающий, что любая объективная неупорядоченность, любой реальный хаос содержат в себе элементы и даже очаги самоорганизации. Системные законы определяются только топологией ветвей цепи, т.е. тем, как соединены между собой выводы элементов этой цепи. При составлении уравнений Кирхгофа имеет значение количество выводов каждого элемента и конфигурация связей (ветвей). Уравнения Кирхгофа остаются справедливыми независимо от того, что за элемент входит в состав цепи, а только лишь количество выводов этого элемента и конфигурация связей каждого вывода с выводами других элементов. Законы Кирхгофа: Алгебраическая сумма токов, подтекающих к любому узлу схемы равна нулю; 2)Алгебраическая сумма падений напряжения в любом замкнутом контуре равна алгебраической сумме ЭДС вдоль того же контура: ∑IR=∑E. Законы Кирхгофа могут быть выведены из уравнений Максвелла для электромагнитного поля. Уравнения, составленные с использованием законов Кирхгофа в такой формулировке описывающие цепь, имеют следующие преимущества: Они зависят только от топологии цепи и НЕ зависят от того, каковы свойства элементов; Они справедливы в любой момент времени (и для изменяющихся во времени величин напряжений и токов); Они верифицируемы, т.е. содержат только величины, измеримые с помощью вольтметров и амперметров.

Основные системные законы: закон Ома для участков цепи, не содержащего источника ЭДС: U=IR; закон Ома для участков цепи, содержащего источника ЭДС: I=(U±E)/R; законы Кирхгофа: 1) Алгебраическая сумма токов, подтекающих к любому узлу схемы равна нулю; 2)Алгебраическая сумма падений напряжения в любом замкнутом контуре равна алгебраической сумме ЭДС вдоль того же контура: ∑IR=∑E; dQ=RI²dt - количество электрической энергии, преобразуемой в тепло; элементарная работа, затрачиваемая на изменение энергии магнитного поля равна dA=Lidi=dW_i; вычисление ёмкости находится по формуле – q=Cu.

15. Компонентные уравнения (вольт-амперные характеристики) элементов электрических цепей. Что они характеризуют? Какие переменные величины входят в компонентные уравнения? Как можно определить вид этих зависимостей экспериментально?

Простейший вид элемента – с двумя выводами (двухполюсник). Его поведение описывается зависимостью между двумя величинами: i и u. Ее называют вольт-амперной характеристикой ВАХ – F(u,i)=0. Из переменных может быть любым независимым аргументом с математической точки зрения. Элемент называют линейным, если ВАХ – полином первого порядка u-(a₀+a₁*i)=0. ВАХ - зависимость тока от приложенного к элементу электрической цепи напряжения или зависимость падения напряжения на элементе электрической цепи от протекающего через него тока. Если сопротивление элемента не зависит от тока, то ВАХ- прямая линия, проходящая через начало координат. В реальной схеме, особенно работающей с относительно высокими частотами для устройства реальная зависимость напряжения от времени может пробегать по траекториям, весьма далеким от «идеальной» ВАХ. Чаще всего это связано с емкостью или другими инерционными свойствами элемента. Выбор источника питания зависит от вида ВАХ. Внешней ВАХ источника питания называется зависимость напряжения на клеммах источника от величины тока. Источники питания могут иметь следующие виды внешних характеристик: крутопадающую, пологопадающую, жёсткую, возрастающую. Вид зависимости можно определить экспериментально с конденсатором, с термозависимым резистором (саморазогрев), с диодом – нелинейный элемент. ВАХ f может быть функцией любого вида. Так, например, у полупроводниковых диодов характеристики существенно нелинейны и весьма различны для разных типов диодов. Для металлических проводников компонентная зависимость весьма близка к прямой пропорциональной ‑ это всем известный «закон Ома» u(t)-Ri(t)=0, записываемый обычно в виде i=u/R. Однако при значительной величине тока вследствие саморазогрева зависимость может оказаться весьма «причудливой» (например, для нити лампы накаливания). В электротехнических устройствах используются многочисленные элементы с числом выводов, превышающим два. Прежде всего, это транзисторы, у которых три вывода. ВАХ многополюсных диссипативных элементов представляют собой семейство функций нескольких аргументов. Количество функций, а также количество аргументов в каждой функции на единицу меньше количества выводов многополюсника. Эксперимент по снятию ВАХ резистора и полупроводникового диода вручную, с помощью характериографа. Простой вариант формирования системы компонентных уравнений для n-полюсника: выбрать один из выводов в качестве базового, задать величины напряжений между каждым из оставшихся и базовым выводом (возможность этого является следствием второго закона Кирхгофа), измерять токи через каждый из выводов за исключением базового, система из (n-1) уравнений, описывающая поведение n-полюсника будет иметь вид i_n1(t)=F_n(u21(t), u₃₁(t),…,u_n1(t)). Здесь F символизирует зависимость, которая может быть алгебраической, либо содержать производные и (или) интегралы переменных u(t) и i(t).

16. Энергетические свойства элементов электрических цепей: диссипативный (резистивный) элемент, электростатический накопитель энергии (емкость). Электромагнитный накопитель энергии (индуктивность). Влияние емкости и индуктивности на процессы в электронных информационных устройства.

Диссипативность - необратимое превращение электрической энергии в тепло. Большая группа элементов цепей обладает свойством, состоящим в том, что вся энергия, доставляемая токами, протекающими через выводы, превращается внутри таких элементов в тепло. Такие элементы называют диссипативными. Примером такого элемента является резистор. Компонентное уравнение диссипативного двухполюсника имеет вид F(u,i)=0. Запись уравнения в таком виде подчёркивает тот факт, что ни одна из двух переменных u, i не является причиной изменения другой величины, т.е. аргументом, независимой переменной, может быть любая из них. Считается, что независимой переменной, причиной является изменение напряжения, в то время как изменение тока это следствие, и компонентное уравнение переписывают в виде i=f(u). Однако утверждение о «первичности» напряжения ошибочно. Характеристики диссипативных элементов часто называют «вольт-амперными», поскольку в выражении присутствуют две переменные: напряжение и ток. В приведённом уравнении обе переменные могут изменяться во времени. Емкость - обратимое накопление энергии в электрическом поле заряженного конденсатора. Некоторые виды элементов цепей способны обратимо накапливать электрическую энергию в электрическом или в магнитном поле. Компонентное уравнение элемента цепи, способного накапливать энергию в электрическом поле (электростатического накопителя), в общем случае имеет вид F(Q,u)=0. Это соотношение иногда называют «вольт-кулонной» характеристикой. Однако при описании электрической цепи, содержащей электростатический накопитель, состояние цепи описывают, используя только напряжения и токи. Этого можно достигнуть, использовав соотношение между зарядом и током Q=C*u. Любой фрагмент электрической цепи, в котором имеются две точки, между которыми существует ненулевое напряжение, обладает свойствами электростатического накопителя. Известно более 300 веществ (сегнетоэлектрики), для которых функция существенно нелинейна. Для большинства веществ функция имеет вид прямой пропорциональной зависимости: i_c=dQ_c/dt=Cdu_c/dt. В последней формуле С – электрическая ёмкость электростатического накопителя, постоянный параметр, измеряемый в фарадах. Изготавливаются и используются в электрических цепях конденсаторы – двухполюсники, обладающие свойством электростатического накопителя. При проектировании и изготовлении конденсаторов принимают специальные меры для обеспечения постоянства величины их емкости. Конденсатор, заряженный до напряжения u_c в своём электрическом поле содержит энергию W_c=Cu²_c/2. Из формулы вольт-кулонной характеристики могут быть сделаны весьма важные для дальнейшего выводы: скорость изменения напряжения на электростатическом накопителе тем больше, чем больше величина перезаряжающего тока, напряжение на электростатическом накопителе не может измениться скачком, поскольку для этого необходим ток бесконечно большой величины, что физически не реализуемо. Индуктивность - обратимое накопление энергии в магнитном поле тока. Компонентное уравнение элемента цепи, способного накапливать энергию в магнитном поле имеет вид: u_L=Ldi_L/dt=dпси*L/dt. Иногда называют «вебер-амперной характеристикой», поскольку оно устанавливает связь между величиной суммарного магнитного потока и величиной тока, создающего этот поток. Величина потокосцепления пси измеряется в веберах. Коэффициент пропорциональности L называется индуктивностью и измеряется в единицах генри. Любой фрагмент реальной электрической цепи в некоторой степени обладает свойствами магнитного накопителя, поскольку вокруг проводника с током всегда возникает магнитное поле. Из формулы вебер-амперной характеристики (2.9) следуют важные для дальнейшего изложения выводы: скорость изменения тока в электромагнитном накопителе тем больше, чем больше величина напряжения между его выводами, ток в магнитном накопителе не может измениться скачком, поскольку для этого напряжение между выводами магнитного накопителя должно стать бесконечно большим, что физически не реализуемо. Для линейных двухполюсников математическое выражение этих свойств: Резистивность: i(t)=u(t)/R и W=R∫i²(t)dt - это соотношение известно как Закон Ома – ВАХ идеального резистора. Емкость электрическая i(t)=C*du(t)/dt=dq(t)/dt и W=Q²/2C - вольт-кулонная характеристика электростатического накопителя энергии. Индуктивность u(t)=Ldi(t)/dt и W=LI²/2 - вебер-амперная характеристика электромагнитного накопителя энергии. Два последних соотношения никак не называются, хотя все три формулы представляют собой простейшие математические модели для трех видов двухполюсников: резистора, конденсатора и катушки индуктивности (индуктора). Любой реальный двухполюсник обладает всеми тремя свойствами, только в разной степени.