- •Содержание
- •Глава 1. Вероятность событий
- •§1. Пространство элементарных исходов. Операции над событиями. Отношения между событиями.
- •Операции над событиями.
- •Свойства операций над множествами
- •Задачи для самоконтроля к §1
- •§ 2 Классическое определение вероятности. Основные свойства вероятности.
- •§ 3 Основные формулы комбинаторики.
- •3.1 Принцип (правило) умножения.
- •3.2 Перестановки.
- •3.3 Размещения.
- •3.4 Сочетания.
- •3.5 Гипергеометрическое распределение.
- •§4 Общее определение вероятности.
- •Геометрические вероятности
- •Задание вероятности на дискретном пространстве элементарных исходов
- •Задачи для самоконтроля к §2,3,4
- •§5 Условная вероятность
- •§6 Независимость событий.
- •Задачи для самоконтроля к §5, 6
- •§7 Формула полной вероятности.
- •§8 Формула Байеса.
- •Задачи для самоконтроля к §7, 8
- •§9 Последовательность испытаний (схема Бернулли ).
- •Задачи для самоконтроля к §9
- •§ 10 Предельные теоремы в схеме Бернулли.
- •10.1 Локальная теорема Муавра – Лапласа.
- •10.2 Интегральная теорема Муавра – Лапласа.
- •10.3 Формула Пуассона (формула редких событий).
- •10.4 Вероятность отклонения относительной частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях.
- •Задачи для самоконтроля к §10
- •Глава 2 Случайные величины.
- •§1 Случайные величины и функция распределения.
- •§2 Дискретные случайные величины.
- •2.1 Ряд распределения.
- •2.2 Функция распределения дискретной с.В.
- •2.3 Математическое ожидание дискретной случайной величины.
- •2.4 Дисперсия.
- •Задачи для самоконтроля к §2
- •§3 Важнейшие дискретные случайные величины
- •Биномиальное определение
- •Геометрическое распределение
- •Распределение Пуассона
- •Задачи для самоконтроля к §3
- •§4 Непрерывные случайные величины.
- •4.1 Плотность распределения
- •4.2 Математическое ожидание и дисперсия непрерывной с.В.
- •4.3 Квантиль.
- •Задачи для самоконтроля к §4
- •§5 Важнейшие непрерывные случайные величины.
- •5.1 Равномерное распределение
- •5.2 Экспоненциальное ( показательное) распределение
- •5.3 Нормальное распределение.
- •Задачи для самоконтроля к §5
- •§6 Двумерные случайные величины.
- •6.1 Дискретная двумерная случайная величина.
- •6.2 Функция распределения двумерной случайной величины.
- •6.3 Непрерывные двумерные случайные величины.
- •§7 Ковариация и корреляция.
- •Задачи для самоконтроля к §6, 7
- •§8 Задача о наилучшем линейном прогнозе.
- •Задачи для самоконтроля к § 8
- •Глава 1
- •Глава 2
- •Литература
10.3 Формула Пуассона (формула редких событий).
А как вычислить Рn(k) приближенно, если какие – то из условий предыдущих теорем не выполняются?
Теорема 3. Пусть проводятся испытания по схеме Бернулли, и вероятность успеха р достаточно мала, т.е. р ≤ 0.1, и n ∙ p ∙q < 3. При этих условиях и достаточно большом, но конечном n, справедлива формула Пуассона.
Эта функция также протабулирована.
Пример 3. По цели проводятся 5000 выстрелов. Вероятность попадания при одном выстреле 0.0001. Найти вероятность хотя бы одного попадания.
Выполняются условия схемы Бернулли, n=5000, р = 0.0001, q = 0.9999. Если применить формулу Бернулли, то
P {хотя бы одно попадание} = 1 – Р5000(0) = 1 – q 5000 = 1 – (0.9999)5000
Такую величину сложно вычислить. Применим формулу Пуассона, проверив сначала условия её применимости:
р= 0.0001 < 0,1, n× p× q = 5000·0,0001·0,9999 = 0,5·0,9999 = 0,49995<3. Т.е. формулу Пуассона применять можно:
10.4 Вероятность отклонения относительной частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях.
Вновь будем считать, что находимся в условиях схемы Бернулли. Проводится n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна р ( 0 < р < 1). Эту вероятность называют постоянной вероятности (т.к. она не меняется). Предположим, что на практике в n испытаниях случилось m успехов. Величину m/n называют относительной частотой, она является некоторым практическим приближением теоретической вероятности р. Понятно, что они в реальной жизни отличаются. Задача – найти вероятность того, что теоретическая вероятность отличается от практического приближения не больше, чем на достаточно малую величину e .
Теорема 4.
(левая часть читается как: “Вероятность отклонения относительной частоты от постоянной вероятности не больше, чем на величину e .”)
Пример 4. Сколько раз нужно бросить кость, чтобы с вероятностью 0.9 можно было ожидать отклонения частоты появлений пятёрки от 1/6 не более чем на ε.
Решение:
Ищем по таблице функции Ф0(х) зачение функции, наиболее близкое к 0,45,
и определяем аргумент при этом значении. В данном случае
выражаем из этого уравнения n:
Подставим в эту формулу различные значенияε< :
при ε= 0.1 n ≈ 38;
при ε= 0.01 n ≈ 3758
Можно сделать следующий вывод: чем больше n, тем меньше разница между теорией и практикой. Есть предположение, что при n→∞ они будут совпадать. Об этом и говорит Закон больших чисел.
Закон больших чисел в схеме Бернулли.
Теорема. Пусть νn – количество успехов в n испытаниях. Тогда
lim Р (|ν>n /n – р| ≤ ε ) = 1
n→∞
Это утверждение является следствием предыдущей теоремы:
Т.к. при x→ ∞ Ф0(x) → 0,5 , следовательно, 2Ф0(x) → 2× 0,5=1.
Читается это так: относительная частота стремится по вероятности к постоянной вероятности. Это означает, что отклонения могут быть , но при n→∞ вероятность большого отклонения равна 0.
Задачи для самоконтроля к §10
1. Вероятность производства нестандартного конденсатора на некотором заводе равна 0,2. Конденсаторы поступают потребителю в коробках по 400 штук. Какова вероятность того, что в коробке 64 нестандартных конденсаторов? 328 стандартных?
2. Среди школьников, проживающих в некотором городе, 40% близоруких. Какова вероятность того, что из 600 случайно отобранных школьников близоруких будет не более 252? Не близоруких будет хотя бы 330?
3. В вычислительной машине 1000 блоков. Вероятность отказа одного блока в течение суток равна 0,002. Найти вероятность того, что в течение суток у машины:
а) откажут два блока;
б) ни один блок не откажет.
в) откажут более двух блоков;