§6 Независимость событий.

Определение 1. Пусть даны события А и В. Они называются независимыми, если Р(АВ) = Р(А) ∙ Р(В) (6.1)

Если равенство нарушается, то события зависимые.

Пример 1. Однократно подбрасывают игральную кость. События А - выпало четное число очков, В – число очков кратно 3, С – выпало 5 очков.Найдем пары независимых событий:

Проверим Р(АВ) = Р(А) ∙ Р(В):

Р(АВ) = Р{6} = 1/6, Р(А) = 1/2, Р(В) = 1/3.

1/6 = 1/2 ∙ 1/3, следовательно А и В независимы.

Проверим Р(АС) = Р(А) ∙ Р(С):

0 ≠ 1/2 ∙ 1/6, следовательно А и С зависимы.

Проверим Р(ВС) = Р(В) ∙ Р(С):

0 ≠ 1/3 ∙1/6, следовательно В и С зависимы.

Утверждение 1. Если А и В независимы, то независимы следующие пары событий :  . Без доказательства.

Утверждение 2. Если А и В несовместны и Р(А) ≠ 0, Р(В) ≠ 0, то А и В зависимы.

Доказательство: Т.к. события несовместны, Р(АВ)=0. По (6.1)для независимости необходимо

Р(АВ) = Р(А) ∙ Р(В) Левая часть равна нулю, а правая – не равна. Т.е. равенство не выполняется.

Определение 2. Пусть даны n событий А1 , А2, ………., Аn . Говорят, что они попарно независимы, если для всех i, j, i ≠j P(A_{i ×} A_j) = P(A_i) ∙P(A_j)

Определение 3. Пусть даны n событий А1 , А2, ………., Аn . Говорят, что эти события независимы в совокупности, если " к ≤ n , " i₁, i₂,.. i_k,

i₁ ≠ i₂ ,..≠ i_k

P(A _i1 A_i2 ...A_ik) = P(A _i1) ∙ P(A_i2) …P(A_ik) (*)

Отличие этих определений: при попарной независимости (*) выполняется только для пар событий.

Пример 2. Монету подбрасывают 2 раза. Рассмотрим следующие события:

А1 – первый раз выпал герб, А2 – второй раз выпал герб, А3 – число гербов равно числу цифр.Выпишем множества, соответствующие этим событиям:

А1 = { ГГ, ГЦ }, А2 = { ГГ, ЦГ}, А3 = { ГЦ, ЦГ}.

Проверим попарную независимость:

Р(А1× А2) = Р(А1)× Р(А2) ¼ = ½ × ½

Р(А2× А3) = Р(А2)× Р(А3) ¼ = ½ × ½

Р(А1× А3) = Р(А1)× Р(А3) ¼ = ½ × ½

Следовательно, эти события попарно независимы.

Для проверки независимости в совокупности осталось проверить только:

Р(А1× А2× А3) = Р(А1)× Р(А2)× Р(А3)

0 ≠ ½ × ½× ½

Следовательно, эти события не будут независимы в совокупности.

Задачи для самоконтроля к §5, 6

1. Монету подбросили три раза. Событие А – первый раз выпал герб, В – число выпавших гербов больше числа выпавших цифр. Найти вероятности этих событий. Зависимы ли они?

2. Студент знает 10 вопросов из 30. Используя теорему умножения вероятностей, определить вероятность того, что из трёх предложенных ему вопросов, студент знает:

а) все три вопроса;

б) хотя бы один вопрос.

3. Вероятность того, что в цепи напряжение превысит номинальное значение, равна 0,9. При повышенном напряжении вероятность отказа прибора равна 0,8. Найти вероятность отказа прибора вследствие повышения напряжения.

4. На заводе три цеха. Вероятность того, что первый цех выполнит план – 0,9; второй – 0,8; третий – 0,95. Завод выполнит план, если план выполнят хотя бы два цеха. Найти вероятность этого события.

5. В блоке, содержащем 24 лампы, отказала одна лампа. Неисправность отыскивается путём поочерёдной замены. Найти вероятность того, что неисправность будет устранена не более, чем при первых трёх попытках.

6. Вероятность хотя бы одного попадания в цель при трёх выстрелах равна 0,936. Найти вероятность попадания в цель при одном выстреле.