- •Содержание
- •Глава 1. Вероятность событий
- •§1. Пространство элементарных исходов. Операции над событиями. Отношения между событиями.
- •Операции над событиями.
- •Свойства операций над множествами
- •Задачи для самоконтроля к §1
- •§ 2 Классическое определение вероятности. Основные свойства вероятности.
- •§ 3 Основные формулы комбинаторики.
- •3.1 Принцип (правило) умножения.
- •3.2 Перестановки.
- •3.3 Размещения.
- •3.4 Сочетания.
- •3.5 Гипергеометрическое распределение.
- •§4 Общее определение вероятности.
- •Геометрические вероятности
- •Задание вероятности на дискретном пространстве элементарных исходов
- •Задачи для самоконтроля к §2,3,4
- •§5 Условная вероятность
- •§6 Независимость событий.
- •Задачи для самоконтроля к §5, 6
- •§7 Формула полной вероятности.
- •§8 Формула Байеса.
- •Задачи для самоконтроля к §7, 8
- •§9 Последовательность испытаний (схема Бернулли ).
- •Задачи для самоконтроля к §9
- •§ 10 Предельные теоремы в схеме Бернулли.
- •10.1 Локальная теорема Муавра – Лапласа.
- •10.2 Интегральная теорема Муавра – Лапласа.
- •10.3 Формула Пуассона (формула редких событий).
- •10.4 Вероятность отклонения относительной частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях.
- •Задачи для самоконтроля к §10
- •Глава 2 Случайные величины.
- •§1 Случайные величины и функция распределения.
- •§2 Дискретные случайные величины.
- •2.1 Ряд распределения.
- •2.2 Функция распределения дискретной с.В.
- •2.3 Математическое ожидание дискретной случайной величины.
- •2.4 Дисперсия.
- •Задачи для самоконтроля к §2
- •§3 Важнейшие дискретные случайные величины
- •Биномиальное определение
- •Геометрическое распределение
- •Распределение Пуассона
- •Задачи для самоконтроля к §3
- •§4 Непрерывные случайные величины.
- •4.1 Плотность распределения
- •4.2 Математическое ожидание и дисперсия непрерывной с.В.
- •4.3 Квантиль.
- •Задачи для самоконтроля к §4
- •§5 Важнейшие непрерывные случайные величины.
- •5.1 Равномерное распределение
- •5.2 Экспоненциальное ( показательное) распределение
- •5.3 Нормальное распределение.
- •Задачи для самоконтроля к §5
- •§6 Двумерные случайные величины.
- •6.1 Дискретная двумерная случайная величина.
- •6.2 Функция распределения двумерной случайной величины.
- •6.3 Непрерывные двумерные случайные величины.
- •§7 Ковариация и корреляция.
- •Задачи для самоконтроля к §6, 7
- •§8 Задача о наилучшем линейном прогнозе.
- •Задачи для самоконтроля к § 8
- •Глава 1
- •Глава 2
- •Литература
Свойства операций над множествами
Напомним свойства операций над множествами, известные вам из курса дискретной математики.
А · Ω = А
А + Ω = Ω
А · Ø = Ø
А + Ø = А
(А + В) · С = АВ + ВС
Формулы 6) и 7) легко обобщаются на случай большего количества множеств.
Пример 7. Рассмотрим следующие события:
А – студент курит;
В – живет в общежитии;
С – студент мужского пола;
Тогда
А + В – или курит, или живет в общежитии, или то и другое вместе.
– не курит, женщина, живет в общежитии.`
– не курящая студентка, не живущая в общежитии.
Отношения между событиями.
Определение 8. Пусть даны два события, которые могут произойти при одном испытании. Говорят, что из события А следует событие В, если при наступлении события А автоматически наступает В. Обозначается это как А => В. На множествах это означает, что
Определение 9. Два события А и В эквивалентны, если А => В, и В => А. Обозначают этот факт как А = В.
Соответствующие множества при этом совпадают:
{А} = {В}.
Определение 10. Два события А и В не совместны ( или не совместимы), если А и В не могут произойти при одном испытании.
Множества, соответствующие этим событиям, не имеют общих элементов.
Если события могут произойти при одном испытании, то они совместны.
Пример 8. Рассмотрим следующие события:
А – студент получил 4 на экзамене;
В – не сдал экзамен;
С – сдал экзамен;
Тогда события А и В – несовместны; А и С – совместны;
В и С –несовместны;
А => C .
Определение 11. Пусть даны события А1 , А2, ………., Аn, связанные с одним испытанием. Они образуют полную группу попарно несовместных событий, если выполняются следующие условия:
А1 + А2 +……..+ Аn = Ω (т.е. в сумме эти события образуют всё пространство элементарных исходов).
Ai и Аj – несовместны при i ≠ j (т.е. попарно несовместны).
Пример 9. Игральную кость бросают 1 раз. Введём события:
А1 = { выпало меньше трёх очков }
А2 = { очков выпало больше двух , но меньше шести}
А3 = { выпало 6 очков }
Образуют ли они полную группу событий? Проверим выполнение первого условия:
А1 + А2 + А3 = { ω1, ω2, ω 3, ω4, ω5, ω6 } = Ω
Проверим попарную несовместимость (второе условие):
А1 и А2 – не совместны;
А1 и А3 – не совместны;
А2 и А3– не совместны;
Т.о. это полная группа попарно несовместных событий.
Задачи для самоконтроля к §1
1. Монета подбрасывается до первого герба. Выписать пространство элементарных исходов и события: А={герб выпал при втором подбрасывании}, В={потребовалось не более трёх подбрасываний}, C={потребовалось чётное число подбрасываний}. D=B× C; E=A+B.
2. Образуют ли полную группу следующие события:
а) Опыт – бросание монеты; события: А1–появление герба, А2– появление цифры.
б) Опыт – бросание двух монет; события: В1 –появление двух гербов, В2 – появление двух цифр.
в) Опыт – два выстрела по мишени; события: С1– ни одного попадания, С2 – два попадания.
3. Для социологического обследования случайно выбирается семья с тремя детьми. Рассматриваются события: А– первый ребёнок девочка, В – первый ребёнок мальчик, С – есть и мальчик, и девочка. Выписать пространство элементарных исходов, события А, В, С. Проверить, будут ли совместны А и В, и В.