- •Содержание
- •Глава 1. Вероятность событий
- •§1. Пространство элементарных исходов. Операции над событиями. Отношения между событиями.
- •Операции над событиями.
- •Свойства операций над множествами
- •Задачи для самоконтроля к §1
- •§ 2 Классическое определение вероятности. Основные свойства вероятности.
- •§ 3 Основные формулы комбинаторики.
- •3.1 Принцип (правило) умножения.
- •3.2 Перестановки.
- •3.3 Размещения.
- •3.4 Сочетания.
- •3.5 Гипергеометрическое распределение.
- •§4 Общее определение вероятности.
- •Геометрические вероятности
- •Задание вероятности на дискретном пространстве элементарных исходов
- •Задачи для самоконтроля к §2,3,4
- •§5 Условная вероятность
- •§6 Независимость событий.
- •Задачи для самоконтроля к §5, 6
- •§7 Формула полной вероятности.
- •§8 Формула Байеса.
- •Задачи для самоконтроля к §7, 8
- •§9 Последовательность испытаний (схема Бернулли ).
- •Задачи для самоконтроля к §9
- •§ 10 Предельные теоремы в схеме Бернулли.
- •10.1 Локальная теорема Муавра – Лапласа.
- •10.2 Интегральная теорема Муавра – Лапласа.
- •10.3 Формула Пуассона (формула редких событий).
- •10.4 Вероятность отклонения относительной частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях.
- •Задачи для самоконтроля к §10
- •Глава 2 Случайные величины.
- •§1 Случайные величины и функция распределения.
- •§2 Дискретные случайные величины.
- •2.1 Ряд распределения.
- •2.2 Функция распределения дискретной с.В.
- •2.3 Математическое ожидание дискретной случайной величины.
- •2.4 Дисперсия.
- •Задачи для самоконтроля к §2
- •§3 Важнейшие дискретные случайные величины
- •Биномиальное определение
- •Геометрическое распределение
- •Распределение Пуассона
- •Задачи для самоконтроля к §3
- •§4 Непрерывные случайные величины.
- •4.1 Плотность распределения
- •4.2 Математическое ожидание и дисперсия непрерывной с.В.
- •4.3 Квантиль.
- •Задачи для самоконтроля к §4
- •§5 Важнейшие непрерывные случайные величины.
- •5.1 Равномерное распределение
- •5.2 Экспоненциальное ( показательное) распределение
- •5.3 Нормальное распределение.
- •Задачи для самоконтроля к §5
- •§6 Двумерные случайные величины.
- •6.1 Дискретная двумерная случайная величина.
- •6.2 Функция распределения двумерной случайной величины.
- •6.3 Непрерывные двумерные случайные величины.
- •§7 Ковариация и корреляция.
- •Задачи для самоконтроля к §6, 7
- •§8 Задача о наилучшем линейном прогнозе.
- •Задачи для самоконтроля к § 8
- •Глава 1
- •Глава 2
- •Литература
Задачи для самоконтроля к § 8
1. Пусть x 1 – рост мальчика в 12 лет, x 2 – рост в 15 лет, x 3 – рост в 20 лет. В некоторой стране средние значения этих случайных величин равны 140, 170, 180 см соответственно, а матрица ковариации такова:
В баскетбольной секции занимаются два 15-летних мальчика, у которых рост в 12 лет был 150 и 155 см, а в 15 лет – 180 и 182. Тренер считает, что уровень их игры примерно одинаков. Одного игрока надо вывести из состава команды. Тренер оставил более рослого. Правильно ли он поступил? Указание: предсказать вес игроков в 20 лет.
Ответы
Глава 1
§1
1. W ={Г, ЦГ,ЦЦГ, ...}; А= {ЦГ}; В= {Г, ЦГ}
2. а) да; б) нет; в) нет
3. А={ДДД, ДДМ, ДМД, ДММ}; В={МММ, ММД, МДМ, МДД};
С={ДДМ, ДМД, ДММ, ММД, МДМ, МДД}
А и В – совместны, и В – совместны
§2,3,4
1. 12/35 (либо находить мощность множеств по правилу произведения, либо вероятность через формулу гипергеометрической вероятности).
2. 1/8
3. , несовместны
4.
5.
6. а) 0,4; б) 1/3; в) 8/15.
§5,6
1. P(A)=1/2=P(B); P(A× B)=3/8; события зависимы.
2. а) б)
3. 0,72.
4. 0,9× 0,8× 0,95+0,1× 0,8× 0,95+0,9× 0,2× 0,95+0,9× 0,8× 0,05=0,967.
§7,8
1. а) 0,683; б) 0,512
2. а) 0,4964; б) 0,325
§ 9
1. а) 15× 0,34 × 0,72=0,0595;
б) 15× 0,34× 0,72 +6× 0,35× 0,7 + 0,36
2. а) второе; б) первое.
3. Найти q из уравнения 1– q3=0,271;
тогда р=0,1 и искомая вероятность = 0,001.
§ 10
1. а) б)
2. а) Р600(0, 252) 0,84134 ( при р=0,4)
б) Р600(330, 600) 0,99379 ( при р=0,6)
3. а) 0,27; б) 0,1353; в) 0,3233
Глава 2
§2
1. ряд распределения
|
0 |
1 |
2 |
3 |
р |
0,512 |
0,384 |
0,096 |
0,008 |
М =0,6; D =0,48; Р{1 < <3,5}=0,104;
2. ряд распределения
|
1 |
2 |
3 |
4 |
р |
2/5 |
3/10 |
1/5 |
1/10 |
М =2; D =1; Р{ >2}=0,3;
§3
1. 3 ( найти параметр l из уравнения 0,05=е – l )
2. р100(3)=0,18; р100(4)=0,09.
3. Р( =2) = 5/36
§4
1.с=e; М =2; D =1; Р{ < М }=1–e–1; медиана х0,5=2.
2. М =2; D =4/3; Р{ >1,5} = 0,625;
§5
1. N(180,10);
а)
б) найти t из уравнения P{ t} = 0,1; t 192,9.
2.
3. M( –101)= –1; D( –101)=4/3; P{ < 101} = 3/4;
§6,7
1. M =8; M =85/6; т.к. случайные величины независимы, то вероятности для совместного закона рвспределения вычисляем как: pij=P{ =xi}× P{ =yj}
|
7 |
14 |
25 |
0 |
1/5 |
1/15 |
2/15 |
10 |
1/10 |
1/30 |
1/15 |
15 |
1/5 |
1/15 |
2/15 |
2. Вероятности для x , h вычисляем по формуле Бернулли; аналогично предыдущей задаче строим совместной закон распределения.
cov( )=0;
3. k = 4; при x,y>0,
;
§8
1. M 1=140, M 2=170, M 3=180,
с1, с2 находим из системы уравнений:
Т.е получим систему:
находим с1= –0,053; с2= 1,012.
Прознозируем рост первого в 20 лет:
Прознозируем рост второго: