- •X1, x2,…,xn – действ. Корни
- •Оба нечетные или четные -
- •1) P z, тогда , где s-общий знаменатель дроби
- •6. (Аддитивность опред. Ин-ла)
- •9. Если f(X)r [a,b], то |f(X)|r [a,b]
- •В декартовой системе координат
- •В параметрическом виде.
- •В полярной системе координат
- •Аддитивность
- •Линейность
- •Аддитивность
- •Линейность
- •Геометр. Смысл полного дифференциала. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
- •Дифференциал высшего порядка функции одной переменной
- •Дифференциал высшего порядка функции нескольких переменных
- •Замена переменных в тройном интеграле.
- •1. Поверхность s задана уравнением
- •2. Поверхность s задана параметрически:
- •Скалярная форма кри-2
- •3) Рациональные дроби.
- •X1, x2,…, xl – разл. Компл. Корни
- •2) Не зависит от пути ab.
- •Свойства оператора набла
- •1) Циркуляция потенциального вдоль любого замкнутого контура равна нулю.
- •2) Для любых т. А,в из области g циркуляция потенциального поля не зависит от выбора кривой ав, а зависит только от выбора а и в.
- •3) Потенциальное поле является безвихревым
6. (Аддитивность опред. Ин-ла)
a, b, c f(х)dх= f(х)dх+ f(х)dх
7. Если f(xх[a,b], то f(х)dх0, a>b f(х)dх=
8. Монотонность опред. инт.: Если f(x), g(x)R [a,b], f(x)g(x) x[a,b], то f(х)dх< g(х)dх, a<b Док-во: g(x) – f(x)0 x[a,b], 0 (g(x) – f(x))dx= g(х)dх - f(х)dх
9. Если f(X)r [a,b], то |f(X)|r [a,b]
| f(х)dх | |f(х)|dх
10. (Оценки опред. инт.): Если m и M – наимен. и наибол. зн. f(x) на [a,b], то m(b-a) f(х)dхM(b-a). mf(x)M; x[a,b] m dх f(х)dхM dх m(b-a) f(х)dхM(b-a), a<b
11. Теорема о среднем: Если f(x) непр. на [a,b], то т. [a,b], что выполн. рав-во f(х)dх=f()(b-a)
Док-во: f(x) непр. на [a,b], m – min зн. f(x) на [a,b], M – max; x[a,b] mf(x)M; иссл. оценку ин-ла:
m(b-a) f(х)dхM(b-a), b-a>0
: (b-a) m( f(х)dх) / (b-a))M; ::= f(х)dх) / (b-a)
найдется такая , что f()=,[a,b] => f(х)dх=f()(b-a) ч.т.д
Билет 12.
Определенный интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница.
Интеграл вида f(t)dt=Ф(x), x [a,b] – интеграл с перем. верхним пределом.
Теорема 1: пусть f(x) непрерыв. на [a,b], тогда Ф(х)= f(t)dt тоже непрерыв. на [a,b]
Док-во: х [a,b] возьмем (х+ х) [a,b]. Рассмотрим Ф(х)=Ф(х+ х)-Ф(х)= f(t)dt- f(t)dt= f(t)dt+ f(t)dt- f(t)dt= f(t)dt=f( ) х, где [х, х+ х].
Ф(х)=f( ) х.
х 0 => Ф(х) 0, что означает непрерывность Ф(х) в точке х.
т.к. х – любое, то Ф(х) непрерыв. на [a,b]. ч.т.д.
Теорема 2 (т. Барроу):пусть f(x) непрер. на [a,b], тогда Ф(х)= f(t)dt явл. первообразной для f(x) на [a,b], т.е. ( f(t)dt)=f(x)
Производная от интеграла с перем. верхним пределом равна подинтегр. ф-ции от перем. предела.
Док-во: Ф(х)=f( ) х, где [х, х+ х]
( f(t)dt)=Ф (x)=lim х 0 Ф(х)/ х= lim х 0 f( ) х/ х= lim х 0 f( ) (тогда х) =f(x) ч.т.д
f(х)dх= f(t)dt+С
Пусть F(x) – некот. первообразная для f(x)
Ф(х)=F(х)+С0
f(t)dt=0
0=Ф(a)=F(а)+С0 => С0 = -F(а) => Ф(х)=F(х)-F(а)
Ф(b)=F(b)-F(а)
f(х)dх=F(b)-F(а) – ф-ла Ньютона-Лейбница
Вывод: если f(х) непрер. на [a,b], то для любой ее первообразной F(х) на [a,b] имеет место ф-ла Н.-Л.
Билет 13.
Замена переменных в определенном интеграле.
Теорема 1 (внесение множителя под знак дифференциала): Пусть u=(x) непрер. дифференцируема на пром-ке с концами a и b; пусть f(u) непрер. на множ-ве значений u=(x) Е().
Тогда f((x)) (х)dx= f(u)du
Док-во: если f(u) имеет первообр. F(u), то f((x)) (х) имеет первообр. F( (x))
f((x)) (х)dx= F( (x)) |ba= F( (b)) - F( (a)); f(u)du=F(u) |(b)(a)= F( (b)) - F( (a)) ч.т.д.
Теорема 2 (вынесение множителя из-под знака диф-ла): Пусть х=(t) непрер. диф-ма на (,); (t)>0 (=> возрастает) ((t)<0); ()=a; ()=b; пусть f(x) непрер. на пром-ке с концами a и b, тогда
f(х)dх= f((t)) (t)dt
Док-во: g(t)= f((t)) (t); если g(t) имеет первообр. G(t) на (a,b), то f(x) имеет первообр. F(x)=G(-1(x)) (сущ-ние -1(x) гарантировано монотонностью: -1(x)>0 (<0)); f((t)) (t)dt= G(t) |=G() – G()
f(х)dх=G(-1(x)) |ba=G(-1(b)) - G(-1(a))= G() - G() ч.т.д.
Билет 14.
Интегралы от периодических, нечетных и четных ф-ций.
Теорема: Пусть f(x) интегр. на [-a,a], тогда если f(x) четная, то , если нечетная, то .
Если f(x) – непрерывная с периодом T, интегрируемая на некотором отрезке длины Т, то она интегрируема на любом отрезке длины Т.
Док-во:
Интегрирование по частям в определенном интеграле.
- непр. диф-е ф-ции на
; ; ;
Билет 15.
Вычисление площадей плоских фигур.