Геометр. Смысл полного дифференциала. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

f (x,y)=f(x₀,y₀)+A∆x+B∆x+o(ρ); z₀=f(x₀,y₀); z=f(x,y); ∆x=x-x₀, ∆y=y-y₀;

z₀=z₀+A(x-x₀)+B(y-y₀); z₀-z=A(x-x₀)+B(y-y₀);

z₀-z=f_x‘(x₀,y₀)(x-x₀)+f_y‘(x₀,y₀)(y-y₀)-ур-ние касательн. плоскости в поверхности.

z=f(x,y) (x₀,y₀,z₀).

Нормалью к поверхн. в данной точке М₀(x₀,y₀,z₀) назыв. прямая, проходящая через эту точку перпенд. к касат.

(x-x₀)/f_x‘(x₀,y₀)=(y-y₀)/f_y‘(x₀,y₀)=(z-z₀)/(-1) – ур-ние нормали

(x-x₀)/f_x‘(x₀,y₀,z₀)=(y-y₀)/f_y‘(x₀,y₀,z₀)=(z-z₀)/f_z‘(x₀,y₀,z₀)

Билет 27

Определение . Частные производные второго порядка функции z=z(x,y) определяются так:

Их оказалось четыре. Причем, при некоторых условиях на функции z(x,y) выполняется равенство:

Замечание. Частные производные второго порядка могут обозначаться и так:

Определение Частных производных третьего порядка - восемь (2³):

и так далее.

Дифференциал высшего порядка функции одной переменной

Для функции, зависящей от одной переменной   второй и третий дифференциалы выглядят так:

Отсюда можно вывести общий вид дифференциала n-го порядка от функции  :

Билет 27.2

При вычислении дифференциалов высших порядков очень важно, что  есть произвольное и не зависящее от  , которое при дифференцировании по   следует рассматривать как постоянный множитель.

Дифференциал высшего порядка функции нескольких переменных

Если функция   имеет непрерывные частные производные второго порядка, то дифференциал второго порядка определяется так: .

Символически общий вид дифференциала n-го порядка от функции  выглядит следующим образом:

где , а    произвольные приращения независимых переменных . Приращения   рассматриваются как постоянные и остаются одними и теми же при переходе от одного дифференциала к следующему. Сложность выражения дифференциала возрастает с увеличением числа переменных.

Матрица этой квадратичной формы образована вторыми частными производными функции. Если все производные существуют, то

Определитель этой матрицы называется определителем Гессе, или гессианом.

Билет 28

Формула Тейлора для ф-ции неск.переменых.

u=f(M), k+1-раз. дифф в опр. т. М₀€[М]

└→(R_k+1(N))

N отр М₀М, u=f(M), k-1 раз.дифф. в окр. k раз дифф в т. М₀.

;

Билет 29

Локальный экстремум ф-ции нескольких переменных.

u=f(M)=f(x₁,x₂,_..,x_n) опред. в окр. т.М₀ (x₁⁰,x₂⁰,_..,x_n⁰).

Опр. Ф-ция u=f(M) имеет в т. М₀ локальный максимум (мин.), если сущ. такая окр. в т. М₀ в кот.при ММ₀ выполняется след. нер-во: f(M)<f(M₀), (f(M)>f(M₀)).

∆u=f(M)-f(M₀)<0, если М₀ т.локал. мах.; ∆u>0, если М₀ т.локал. мin.

Теор.(необход.усл.экстремума).

Если ф-ция u=f(M) дифф. в т.М₀ и М₀ – т.лок. max (min), то в этой точке:

Д ок-во: док-ем, что , u=f(x₁,x₂,_..,x_n)

x₂=x₂⁰, М₀ (x₁⁰,x₂⁰,_..,x_n⁰).

x₃=x₃⁰,..

x_n=x_n⁰.

u=f(x₁⁰,x₂⁰,_..,x_n⁰) – имеет лок. экстремум в т.М₀ → .

Точка в кот. все частные призвод. u=f(M) – стационарн., таким обр. точками возможен. экстремума дифф. экстремума явл. стационар. т., но в стационар. т. ф-ция может и не иметь экстремума.

u=xy², u_x’=y²=0; u_y’=2xy=0; M(0,0) стационар., но не явл. т.экстремума.

∆u=u(M)-u(M₀)= xy²>(<)0

Кроме того, лок. экстр. ф-ция может иметь в т., в кот. она не дифф.:

z=1-√x²+y²; z_x’=x/√x²+y²; z_y’=y/√x²+y²; z(0,0)=1; z(∆x,∆y)<1

Теор.(Дост. усл. сущ. т. лок. экстр.)

Пусть u=f(u) дважды непр. дифф. в некот. окр.т.M₀ и т.M₀ – стационар.т., u=f(M) (df(M₀)=0), тогда если для любых dx₁,dx₂,..dx_n не равных одновременно 0:

d²f(M₀)>0, то т.M₀-т.лок.min; d²f(M₀)<0, то т.M₀-т.лок.max;

Д-во: f(M)=f(M₀)+df(M₀)/1!+d²f(N)/2!.

∆f(M₀)=f(M)-f(M₀)=df(M₀)+d²f(N)/2!.

u=f(M) – дважды непр. дифф.

d²f(M₀)>0→d²f(N)>0; d²f(M₀)<0→d²f(N)<0;→ ∆f(M₀)>0→

M₀ – т.лок. min; M₀ – т.лок. max;

1. d ²f(M₀)>0↔a₁₁>0,

2. d²f(M₀)<0↔a₁₁<0,

3. Билет 29.2

Если d²f(M₀) представляет собой закономерную квадрат. форму, то в т. M₀ экстремума не будет. Если 2-ой дифф. представляет собой квадр. форму

Q(dx₁,dx₂,..dx_n)>0 то полож.опр.

Q(dx₁,dx₂,..dx_n)≥0 то казизнакополож.опр

х₁²+2х₁²х₂²+х₂²+(х₁+х₁)²≥0; х₁=-х₂.

Билет 30

Условный экстремум ф-ции нескольких переменных.

Найти экстремум z, при ксловии, что x и y связаны следующим образом.

; x+y-1=0;

(*)

; ; ;

Метод множителя Ла-Гранджа.

(*) эквивалентна задаче: , где

-множитель Ла-Гранджа; - функция Ла-Гранджа.

Надо исследовать ф-ции Ла-Гранджа с учетом условия связи в диффиринциалах.

Наибольшее и наименьшее значение ф-ции в замкнутой области.

Если ф-я определена в замкнутой ограниченной области Д, то она достигает своего min и max значения, либо в стационарных точках внутри области, либо на ее границе.

Билет 31

Интегралы по фигуре от скалярной ф-ции.

Множество называется связанным, если любые 2 из них можно соединить линией, все точки которой принадлежат данному множеству.

Под геометрической фигурой понимается одно из следующих связных (включая границу) множеств точек (см. таблицу).

Диаметром d фигуры Ф называется максимальное расстояние между двумя ее точками.

Под мерой фигуры Ф понимается следующее

Если он существует, конечен и не зависит от способа построения интегральной суммы , то он называется интегралом по фигуре Ф от скалярной ф-ции Ф(Р) и обозначается

Теорема: Если на связной, ограниченной и содержащей граничные точки фигуре Ф скалярная ф-ция f(P) непрерывна, то интеграл по фигуре Ф существует.

Свойства интегралов по фигуре от скалярной ф-ции.

1).

2).

3).

4).

; - длина линии L; ; ;

5). Если то

6). Если , то

7). Если , то

8). Теорема о среднем: Если f(p) непрерывна на фигуре Ф, причем Ф – ограничена о содержит граничные точки, то

Геометрические и физические прилажения интегралов по фигуое от скалярной ф-ции.

- материальная фигура

- плотность материальной йигуры Ф

Билет 32.

Криволинейный интеграл 1го рода.

1). ; - диф-ма на [a,b];

; L: x=g(y);

;

2). ; x(t),y(t) – непрерывно диф-ма на ; L:

;

3). ; ; L:

4). ; ;L: ;

; ;

Билет 33.

Двойной интеграл.Его свойства.Вычисление двойного интеграла в декартовой и полярной системах координат.Геометрическое приложение двойного интеграла.

Двойные интегралы.

Определение: Если при стремлении к нулю шага разбиения области  интегральные суммы имеют конечный предел, то этот предел называется двойным интегралом от функции f(x, y) по области .

Т.к. деление области интегрирования произвольно, также произволен и выбор точек Р_i, то, считая все площади S_i одинаковыми, получаем формулу:

Условия существования двойного интеграла.

Сформулируем достаточные условия существования двойного интеграла.

Теорема. Если функция f(x, y) непрерывна в замкнутой области , то двойной интеграл существует.

Свойства двойного интеграла.

1)

2)

3) Если  = ₁ + ₂, то

4) Теорема о среднем. Двойной интеграл от функции f(x, y) равен произведению значения этой функции в некоторой точке области интегрирования на площадь области интегрирования.

5) Если f(x, y)  0 в области , то .

Вычисление двойного интеграла.

Теорема. Если функция f(x, y) непрерывна в замкнутой области , ограниченной линиями х = a, x = b, (a < b), y = (x), y = (x), где  и  - непрерывные функции и

  , тогда

Теорема. Если функция f(x, y) непрерывна в замкнутой области , ограниченной линиями y = c, y = d (c < d), x = (y), x = (y) ((y)  (y)), то

Билет 33.2

20. Выражение называется определителем Якоби или Якобианом функций f(u, v) и (u, v).

Формула замены переменной в двойном интеграле :

Двойной интеграл в полярных координатах.

Воспользуемся формулой замены переменных:

При этом известно, что

В этом случае Якобиан имеет вид:

Тогда

Здесь  - новая область значений,

Приложение двойного интеграла:

Вычисление площади .

Вычисление объемов тел. V=

Нахождение массы плоской пластинки m = , где - ф. задающая плотность данной пластинки

Билет 34.

Тройной интеграл.

: , z меняется от поверхности до поверхности.

Замечание: Области более сложного вида надо разбить на области более простого вида. Проектирование области V можно производить и на другую плоскость.