1. Аддитивность

Если сходится, то , ;

2. Линейность

Если сходится и сходится, то сходится и

Вычисление и преобразование НИ-2.

Формула Ньютона-Лейбница.

f(x) – непрерывна на [a.b); F(X) - некоторая первообразная.

Интегрирование по частям.

Если U(x) и V(x) непр. И диф-мы на [a,b), то

Исследование на сходимость.

{Аналогично НИ-1.}

Главное значении НИ-2.

f(x) определено на

Определение:

Билет 21.

Предел функции нескольких переменных.

Опр. т. А наз. пределом посл-ти (Mn) если для любого Е(эпсилон) сущ. N-N(E); любое n>=N(E) => p(Mn,A) < E; ; (число)

(x₁, x₂, …,x_m)-независимые переменные.

Опр по Коши: число b наз пределом ф-ии u=f(M) в т. А (при ), если для любого Е > 0 сущ. , для любого

Опр по Гейне: число b наз пределом посл-ти ф-ии u=f(M) в т. А, если для любого (Mn),

A(a₁, a₂,…, a_m)

Теор. Если сущ. и сущ. , то сущ. , причем

Опр. u=f(M) наз. непрерывной в т. А, если

M(x₁, x₂, …,x_n) ; … ; A(a₁, a₂, …,a_n)

Опр2. u=f(M) наз. непрерывной в т. А, если

Точка в к-й ф-я не определена или не является непрерывной, наз. точками разрыва этой ф-ии.

Билет 22

Частные производные и их геометрический смысл.

Частная производная ф-ции в точке по переменной x называется

, если он .

; ;

непрерывна

имеет частные производные в т. А,В непрерывна в т. А,В.

Билет 23.

Дифференцируемость ф-ций нескольких переменных.

Дифференциал.

; ;

;

Ф-ция называется диф-м в точке если ее полное приращение может быть представлено в виде , где , А,В – числа.

Теорема: Если диф в точке , то непрерывна в этой точке.

Док-во: -диф-ма в т.

;

- непрерывна в точке

Теорема (необходимое условие диф): Если диф в точке , то

Док-во: ; ;

Теорема (достаточное условие диф): Если имеет частные производные в некоторой окрестности т. , непрерывна в самой точке , то она диф. В точке .

Если дифф. В т. , то главная линейная, относительно приращения аргумента, часть его полного приращения называется полным диффиринциалом ф-ции в т.

;

; ; Рассмотрим функцию двух переменных , определенную в некоторой выколотой окрестности точки . Выберем и зафиксируем переменную . Получим функцию как бы одной переменной. Рассмотрим предел:

Будем считать, что существует. Теперь снимем фиксацию с переменной и рассмотрим следующий предел:

Если этот предел существует, то говорят, что есть повторный предел функции в точке .

Аналогично мы можем фиксировать сначала переменную . В этом случае мы также получим повторный предел, но, вообще говоря, другой:

Это определение можно распространить и на функции нескольких переменных .

Билет 24.

Диффиренцирование сложной ф-ции нескольких переменных.

; ;

Теорема: Если ф-ция дифф. В т. , а - дифф. в т. , то тогда будет дифф. в т. и

Док-во: ; ;

- дифф. в т. - непрерывны в т. , т.е. ;

дифф. в т.

;

; ; ;

;

;

- свойство инвариантности формы первого дифф.

Билет 25 (Неявные функции)

Т.: (существования и дифференцируемости неявной функции) Пусть функция одной переменной у = (х) и независимая переменная х связаны уравнением F(x, у) = 0, F(x, у) непрерывна в окрестности т. и имеет там непрерывные частные производные причем

Тогда уравнение F(x, y) = 0 определяет в окрестности т. функцию у = у(х), которая имеет непрерывную производную Доказательство дано в [11. С. 449, 452].

Выведем при условиях теоремы формулу для нахождения производной неявной функции у = у(х), заданной уравнением F(x, у) = 0:

(11.3)

По правилу дифференцирования сложной функции продифференцируем F(x, у): отсюда следует (11.3)

Пример:

Формулы для нахождения производных функции z = z(x, у), заданной неявно уравнением приведены в ОК № 11.

Пример:

Билет 26