В декартовой системе координат
f(x)-непрерывна
x=a,x=b; отр [a,b] оси оХ
В параметрическом виде.
;
;
разбиваем:
;
В полярной системе координат
;
;
;
;
;
;
Билет 16
Вычисление длинны дуги с помощью определённого интеграла
Пусть известна функция
и
требуется найти длину дуги, заданной
функцией
,
где
.
Для определения длины дуги
необходимо
вычислить определенный
интеграл:
Рассмотрим случай параметрического задания кривой:
где
.
В этом случае для определения длина
дуги
вычисляется
определенный
интеграл:
Рассмотрим случай, когда кривая
задается в полярных координатах
где
.
Тогда для определения длины дуги
вычисляется
следующий определенный
интеграл:
Билет 17
Вычисление объемов тел: Пусть имеется тело объема V. Площадь любого поперечного сечения тела Q, известна как непрерывная функция Q = Q(x). Разобьем тело на “слои” поперечными сечениями, проходящими через точки хi разбиения отрезка [a, b]. Т.к. на каком- либо промежуточном отрезке разбиения [xi-1, xi] функция Q(x) непрерывна, то принимает на нем наибольшее и наименьшее значения. Обозначим их соответственно Mi и mi.
Если на этих наибольшем и наименьшем сечениях построить цилиндры с образующими, параллельными оси х, то объемы этих цилиндров будут соответственно равны Mixi и mixi здесь xi = xi - xi-1.
Произведя
такие построения для всех отрезков
разбиения, получим цилиндры, объемы
которых равны соответственно
и
.При
стремлении к нулю шага разбиения ,
эти суммы имеют общий предел:
Таким образом, объем тела может быть
найден по формуле:
Билет 18.
Определение НИ-1.
Пусть f(x) определена на
и инт на
;
,
т.е.
Пусть
Если этот lim существует и конечен, то говорят, что НИ-1 сходится. Если не существует или бесконечен, то расходится.
;
Свойтсва НИ-1.
Аддитивность
Если
сходится, то
,
;
Линейность
Если
сходится и
сходится, то
сходится и
Вычисление и преобразование НИ-1.
Формула Нбютона-Лейбница.
Если f(x)
непрерывна на
и F – какая-то
первообразная для ф-ции f(x),
то
Интегрирование по частям.
Если U,V
– непрер. Диф-мы ф-ции на
,
то
Исследование на сходимость.
Т1: Пусть ф-ции f(x)
и g(x)
,
тогда если
и
,
то
сходится
сходится
расходится пасходится
Предельный признак сравнения для НИ-1.
Т2: Пусть
,
;
,
тогда если
конечный
,
то
и
сходятся или расходятся одновременно.
При k=1
при
Т3: Если
и
сходится, то
сходится.
Определение: называется абсолютно сходящимся, если сходится .
Если расходится, а сходится, от - неабсолютно (условно) сходящийся .
Билет 18.2
Главное значении.
Главным значением
называется
;
VP-Value
principul
Если
и сходится, то
и
Билет 19.
Определение НИ-2.
f(x)
определена на [a,b);
;
,
т.е.
называется НИ-2 и обозначается
Если этот Lim существует и конечен, то говорят, что сходится. Если он не сущ-т или бесконечен, то НИ-2 расходится.
Свойства НИ-2.
{Аналогично НИ-1. }