Контрольная работа по теме: "Решение систем линейных уравнений"

Задание № 1. Методом простых итераций решить систему линейных уравнений с точностью до 0,001.

Вариант №1	Вариант №2	Вариант №3

Задание № 2. Методом Зейделя решить с точностью до 0,01 систему линейных уравнений, приведя ее к виду, удобному для итераций и доказав, что для данной системы процесс Зейделя сходится.

Вариант №1	Вариант №2	Вариант №3

Тестовые задания по теме: "Решение систем линейных уравнений"

1. В чем отличие метода Зейделя для решения системы линейных алгебраических уравнений от метода простой итерации?

а) Отличие в том, что на очередном шаге реализации метода Зейделя исключается не следующее по номеру неизвестное, а то неизвестное, коэффициент при котором является наибольшим по модулю. Таким образом, в качестве ведущего элемента здесь выбирается главный, т.е. наибольший по модулю элемент.

б) Отличие в том, что на очередном k-ом шаге реализации метода Зейделя исключается коэффициент при неизвестном x_k, называемый главным элементом на k-м шаге исключения. Тем самым система линейных алгебраических уравнений приводится к треугольному виду.

в) Отличие в том, что при вычислении (k+1)-го приближения неизвестного x_i при i>1 используются уже вычисленные ранее (k+1)-е приближения неизвестных x₀, x₁, …, x_i-1.

2. Алгоритм Гаусса реализуем

а) При условии отличия от нуля ведущих элементов прямого хода алгоритма.

б) Всегда, но только для симметричных матриц.

в) Всегда.

 3. Решение системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) методом простой итерации.

а) Исходная СЛАУ записывается в виде, разрешенном относительно неизвестных; при этом неизвестные появляются и в правой части. Исходя из произвольного начального вектора, строится итерационная процедура. При выполнении достаточных условий сходимости, получается последовательность векторов, неорганично приближающихся к точному решению. Точное решение системы получается лишь в результате бесконечного итерационного процесса и всякий вектор из полученной последовательности является приближенным решением.

б) Если определитель матрицы коэффициентов А не равен нулю, то исходная система имеет единственное решение. Значения неизвестных могут быть получены по формулам x_i = det A_i/det A, det A_i и det A  определители матриц A_i и А соответственно. Матрица A_i образуется из матрицы А путем замены ее i-го столбца столбцом свободных членов.

в) Метод простой итерации разработан для решения СЛАУ с трехдиагональной матрицей коэффициентов. Исходная система n уравнений приводится к виду x_i = α_i+β_i x_i+1 (i = 1, 2,…, n-1). Числа α_i, β_i, называемые прогоночными коэффициентами, последовательно находятся в прямом ходе. При осуществлении обратного хода сначала определяется x_n, а затем вычисляются значения x_i (i = n-1, …, 1), последовательно применяя рекуррентные формулы x_i = α_i+β_i x_i+1.

4. Метод Гаусса-Зейделя решения систем линейных уравнений является

а) Неявным.

б) Стационарным.

в) Итерационным.

 5. Почему метод простой итерации решения систем линейных алгебраических уравнений называется самоисправляющимся?

а) Потому что для данного метода вводятся достаточные условия сходимости.

б) Потому что отдельная ошибка, допущенная при вычислениях, не отражается на конечном результате, поскольку ошибочное приближение рассматривается как новый начальный вектор.

в) Потому что при использовании данного метода строится отдельная процедура, исправляющая любые ошибки, допущенные при расчетах.

6. Отличие метода Гаусса с выбором главного (ведущего) элемента от метода Гаусса решения системы линейных алгебраических уравнений.

а) Отличие в том, что метод Гаусса с выбором главного элемента применим лишь для решения систем линейных алгебраических уравнений с апериодической матрицей коэффициентов, поэтому на очередном шаге реализации метода исключается не следующее по номеру неизвестное, а неизвестное, находящееся на побочной диагонали и коэффициент при котором является главным, т.е. наименьший по модулю.

б) Отличие в том, что на очередном k-ом шаге реализации метода Гаусса исключается элемент , называемый главным элементом на k-м шаге исключения. Тем самым система линейных алгебраических уравнений приводится к треугольному виду.

в) Отличие в том, что на очередном шаге реализации метода Гаусса исключается не следующее по номеру неизвестное, а то неизвестное, коэффициент при котором является наибольшим по модулю. Таким образом, в качестве ведущего элемента здесь выбирается главный, т.е. наибольший по модулю элемент.

7. Опишите метод Гаусса решения системы линейных алгебраических уравнений.

а) Если матрица коэффициентов А невырожденная (определитель этой матрицы не равен нулю), то исходная система имеет единственное решение. Значения неизвестных могут быть получены по формулам , det A_i и det A  определители матриц A_i и А соответственно. Матрица A_i образуется из матрицы А путем замены ее i-го столбца столбцом свободных членов.

б) Заданная система линейных уравнений каким-либо образом приводится к эквивалентному виду. Исходя из произвольного начального вектора, строится итерационный процесс. При выполнении достаточных условий сходимости, получается последовательность векторов, неорганично приближающихся к точному решению.

в) В основе данного метода лежит идея последовательного исключения неизвестных. Решение системы распадается на два этапа: 1) прямой ход, когда исходная система приводится к треугольному виду; 2) полученные коэффициенты при неизвестных и правые части уравнений хранятся в памяти ЭВМ и используются при осуществлении обратного хода, который заключается в нахождении неизвестных из системы треугольного вида.

8. Условием разложения квадратной матрицы на треугольные сомножители является:

а) Невырожденность матрицы.

б) Отличие от нуля главных угловых миноров матрицы до (n-1)-го порядка включительно.

в) Отличие от нуля миноров матрицы до n-го порядка включительно.