3.9. Обчислення погрішностей і довірчих меж погрішності результату вимірювань

Представимо абсолютну погрішність вимірювань () у вигляді суми випадкової (к) і систематичної (s) складових:  =  до +  s.

В остаточний результат може бути введений поправка з метою усунення або мінімізації внеску систематичної погрішності. Ця поправка може додаватися з своїм знаком, може виражатися у вигляді комбінації поправок обох типів. Але, як свідчить народна мудрість, "усунені погрішності вже не погрішності".

Оскільки, визначальну роль в отриманні ряду значень величини х, що виміряється, грають випадкові погрішності, до цих результатів можна застосувати теорію вірогідності і закони математичної статистики.

Згідно цієї теорії при вимірюванні будь-якої величини х необхідно виконати велике, прагнуче до нескінченності число вимірювань n: х1, х2. хi. хn. Такий ряд називають генеральною (загальної) сукупністю значень.

Для оцінки результатів вимірювань звичайно вводять наступні статистичні параметри:

1. Середнє арифметичне n вимірювань:

(3.8)

2. Середнє квадратичне відхилення окремого вимірювання:

(3.9)

3. Середнє квадратичне відхилення результату серії вимірювань:

(3.10)

4. Якщо ввести в розгляд т.з. густину вірогідності y=f(к), то при дотриманні нормального закону розподілу випадкових величин Гауса (n) має місце співвідношення:

(3.11)

Графічно нормальний закон розподілу представлений на рис.3.2.

Вірогідність того, що результати вимірювань не вийдуть за межі якого-небудь інтервалу випадкових погрішностей [-,+], визначається за розміром площі, обмеженої межами цього інтервалу (по осі абсцис) і самої кривої розподілу (на рис.3.2 вона заштрихована). Такий інтервал називають довірчим, а відповідну йому вірогідність отримання випадкової погрішності Р – довірчою вірогідністю.

Таким чином, результат вимірювань недостатньо характеризувати тільки середнім значенням і погрішністю – необхідно ще вказати величину довірчої вірогідності Р, яка свідчить кількісно про ступінь надійності цих вимірювань і показує, яка вірогідність того, що при повторному вимірюванні результат не вийде за рамки . При більшому довірчому інтервалі виходить велика довірча вірогідність.

Рис.3.2. Закон нормального розподілу помилок (₁₂₃).

Прагнучи при визначенні довірчого інтервалу застрахуватися від можливої помилки, звичайно вибирають довірчу вірогідність, дуже близьку до 1 (наприклад, 0,99, 0,995 і т.д.). Проте такий підхід має і негативні наслідки, оскільки, чим більше Р, тим ширше довірчий інтервал (). В практичній метрології довірчої вірогідності додають значення показника якості вимірювань, що характеризує їх рівень значущості або ступінь надійності.

Нормальний розподіл справедливо при достатньо великому числі повторних вимірювань n. Якщо n мало (<<20 ), використовується розподіл Стьюдента. В цьому випадку густина вірогідності залежить не тільки від ?к, але і від n, т.е y=f(Дк,n):

(3.12)

де Г(n) – гамма – функція, значення якої залежить від числа вимірювань n, і володіюча властивістю: Г(n+1)= nГ(n); tст _– параметр, визначуваний виразом

tст= Дк/у.

Звичайно обчислюється не параметр tст, а корелюючий з ним коефіцієнт Стьюдента t_S:

(3.13)

В практичній метрології вирішують звичайно декілька взаємозв'язаних задач:

1. Визначити довірчу вірогідність Р, якщо відоме середнє квадратичне відхилення ?, довірчий інтервал ? і число вимірювань n.

2. Визначити довірчий інтервал для заданого значення Р і відомих значень ? і n.

3. Визначити кількість вимірювань n, необхідне для попадання в заданий довірчий інтервал ? із заданою довірчою вірогідністю Р і т.д.

Всі подібного роду розрахунки здійснюються на основі добре протабульованих функцій типу (3.11) і (3.12), які є додатками до відповідних метрологічних Гостів і керівництв по обробці результатів вимірювань.