3.10.Поняття про кореляцію, рангова кореляція

При зіставленні результатів двох серій (вибірок) вимірювань реальна ситуація, коли їх довірчі інтервали в тій або іншій мірі перекриваються. Такі вимірювання можуть виявитися взаємозв'язаними, і виникає необхідність встановити силу цього взаємозв'язку, тобто визначити, чи є відмінності меду ними статистично достовірними і в якій мірі, або ж вони настільки неістотні, що обидві вибірки можна віднести до однієї і тієї ж генеральної сукупності.

Ці задачі вирішує спеціальна область статистики, іменована кореляційним аналізом.

Для оцінки тісноти взаємозв'язку в кореляційному аналізі використовують спеціальний показник – коефіцієнт кореляції. Абсолютні значення коефіцієнта кореляції завжди знаходиться в межах 0-1. Тіснота взаємозв'язку за допомогою коефіцієнта кореляції інтерпретується таким чином залежно від його чисельного значення:

1,0 – функціональний, найсильніший взаємозв'язок, коли значенню одного показника відповідає тільки одне конкретне значення іншого показника;

0,99-0,7 – сильний статистичний взаємозв'язок;

0,69-0,5 - середній статистичний взаємозв'язок;

0,49-0,2 – слабий статистичний взаємозв'язок;

0,19-0,09 – дуже слабий статистичний взаємозв'язок;

0,08-0 – кореляція відсутня.

Статистика надає безліч методик розрахунку значень коефіцієнтів кореляції. Як правило, всі вони достатньо громіздкі, оскільки в обчисленні фігурують числові значення всіх зміряних величин.

Спірменом запропонована і проста методика обчислення коефіцієнта кореляції, заснована на тому, що в розрахунках беруть участь не самі значення показників, взаємозв'язок яких встановлюється, а їх характеристики, вказані в шкалі порядку або рангу.

Коефіцієнт рангової кореляції (коефіцієнт Спірмена) може змінюватися в межах від –1 до +1 і визначається по формулі:

(3.14)

де d=dx-dy – різниця рангів даної пари показників х і у, n – об'єм вибірки (число випробовуваних).

Алгоритм обчислення коефіцієнта рангової кореляції складається з декількох кроків.

1. Звести показники х і у в таблицю, проранжирувати їх, приписавши кожному значенню порядковий номер (від мінімального значення до максимального, або навпаки).

2. Обчислити різницю рангів di=dx-dy.

3. Обчислити квадрат різниці рангів di2=(dx-dy)2.

4. Обчислити суму всіх квадратів різниці

5. Обчислити значення ? по формулі 3.14.

6. Визначити тісноту взаємозв'язку показників х і у, користуючись вищенаведеною числовою інтерпретацією.

3.11 Представлення результатів вимірювань

Безпосередні первинні результати вимірювань не завжди є достатньо наочними, компактними і зручними для сприйняття і подальшого використовування.

Тому необхідно вибирати і використовувати найбільш відповідні методи їх обробки і форми уявлення.

Звичайно прийняті такі форми представлення результатів вимірювань: таблиці, графіки, діаграми, гістограми, номограми.

Таблиці – найпростіший спосіб представлення результатів вимірювань в дискретній цифровій формі запису інформації.

Достоїнства табличної форми: можливість збереження і витягання первинних даних, великий об'єм інформації, легкість перестроювання.

Таблиці можуть служити основою для виразу результатів вимірювань в інших формах. Графіки, діаграми, гістограми, номограми є похідними від таблиць і містять лише частину інформації, якою володіють таблиці.

Недоліки таблиць полягають в їх малій наочності, неможливості чітко виявити ті або інші закономірності, мінімуми і максимуми і т.д.

Графік – ілюстроване кількісне плоске представлення залежності однієї або декількох величин від значень інших величин.

Узагальнено, графік є поверхня в об'ємі багатовимірного простору, але навіть тривимірні графіки – це велика рідкість.

Частіше за все графіки будують в декартових координатах – прямокутна система, осі якої називають "абсциса" і "ордината". Іноді для більшої виразності (особливо для кутових величин) графіки будуються в полярних координатах.

Достоїнствами графіків є їх наочність, виявлення особливих точок і тенденцій, навіть в тих випадках, коли аналітичний зв'язок між досліджуваними величинами відсутній.

Недоліки графіків: можливість часткової втрати первинних числових даних, деяка неоднозначність при побудові, труднощі відображення залежності від декількох змінних.

Діаграма – один з видів графіків, коли структура явища або процесу для наочності виражається у вигляді відрізків, елементів площі або фігур умовно вибраних розмірів.

Діаграми бувають: лінійними (будуються як графіки в декартовій системі); стовпчиковими, секторіальними (циклічними).

Ефект виразності діаграм можна усилити їх штрихуванням або розфарбовуванням – тому вони дуже наочні.

Недоліки: труднощі витягання цифрової інформації (тому іноді діаграми містять і деякі цифри), невизначеність поведінки функції між вибраними інтервалами.

Гістограма – наочне представлення результатів вимірювань при використовуванні статистичних методів їх обробки з метою опису частоти (вірогідність) знаходження якої-небудь величини в заданому інтервалі значень (криві розподілу).

Номограмма- допоміжна графічна побудова, що служить для віддзеркалення спеціальної функціональної залежності і для проведення розрахунків. Іноді її називають калькулятором.

Типовий приклад номограми – логарифмічна лінійка.

Деякі рекомендації, які бажано дотримувати при побудові графіків і інших форм:

• масштаб шкали треба вибирати так, щоб крива на графіку займала все поле креслення;

• експериментальні крапки не повинні зливатися;

• графік повинен будуватися з урахуванням погрішності вимірювань. Якщо ж погрішність велика, від проведення від проведення ліній слід утриматися;

• бажано вибирати масштаб так, щоб основна частина графіка проходила під кутом, близьким до 450;

• на експериментальних графіках обов'язково наносяться крапки;

• при невеликій кількості точок їх рекомендується сполучати суцільною лінією, особливо якщо чіткій закономірності не виявляється;

• при проведенні плавної (лекальної) лінії слід прагнути того, щоб вона мала по можливості менше особливих і екстремальних точок. Приблизно половина точок повинна лежати вище, друга половина точок – нижче за плавну лінію.

Результат вимірювань, отриманий у вигляді безпосереднього відліку або обчислень, часто виражається у вигляді цілих чисел або десяткових дробів і, як правило, округляється.

Існують правила округлення.

1. Округляти результат вимірювань слід до того числового розряду, який позначений значущою цифрою у вимогах технічних умов або стандартів. Наприклад, запис "питомий електричний опір повинен бути не менше 3,0 Омсм", говорить про те, що виміряти або обчислювати цю величину треба з точністю до сотих Омсм, а округляти з точністю до десятих. Якби номінал питомого електричного опору був записаний як 3 Омсм, то виміряти або обчислювати його треба було б з точністю до десятих, а округляти до цілих.

2. Числове значення закругленого результату вимірювань повинне закінчуватися цифрою того ж розряду, що і значення погрішності. В цьому випадку зайві цифри в цілих числах замінюються нулями, а в десяткових дробах відкидаються. Наприклад, якщо результат вимірювання тиску 2,0500 Па при погрішності ±0,001 Па, то результат округлення слід записати як 2,050 Па.

3. Якщо перша (зліва направо) із замінюваних нулями і відкиданих цифр менше 5,остающиеся цифри не змінюються. Наприклад: 1539315390; 655,3355655,3 і т.д.

4. Якщо перша із замінюваних нулями і відкиданих цифр рівна 5, але за нею слідує значуща цифра, то остання цифра, що залишається, збільшується на одиницю. Наприклад:9991,69992; 6499,86500; 102,404501102,405.

5. Якщо перша із замінюваних нулями або відкиданих цифр рівна 5, а за нею не слідує ніяких цифр або йдуть нулі, то округлення проводиться до найближчого парного числа (тобто якщо остання цифра в закругленому числі парна або нуль, то вона залишається без зміни, якщо вона непарна – збільшується на одиницю). Наприклад: 682,50682; 5675,505676; 2010,52010.

В практичній метрології і у ряді спеціальних дисциплін рекомендують, не дивлячись на вище висловлені правила, проводити округлення "на користь споживача або користувача" продукції.

Наприклад, якщо за технічних умов встановлена верхня межа величини, що виміряється, її слід округляти тільки у велику сторону; якщо ж величина, що виміряється, лімітована знизу – її округляють в меншу сторону. Це підвищує вірогідність того, що при повторних вимірюваннях значення даної величини не вийде за встановлені межі.