- •Лекция №2 законы сохранения
- •Закон сохранения массы
- •Интегральная форма закона сохранения массы (материальный баланс)
- •Локальная форма закона сохранения массы (уравнение неразрывности)
- •Закон сохранения энергии
- •Интегральная форма закона сохранения энергии (первый закон термодинамики)
- •Лекция №3
- •Локальная форма закона сохранения энергии
- •Закон сохранения импульса
- •Интегральная форма закона сохранения импульса
- •Локальная форма закона сохранения импульса
- •Исчерпывающее описание процессов переноса
- •Поля скорости, давления, температуры и концентраций, понятие о пограничных слоях
- •Аналогия процессов переноса
- •Моделирование
- •Математическое моделирование
- •Физическое моделирование
- •Теория подобия
- •Основные этапы физического моделирования
- •Проблема масштабного перехода при проектировании промышленных аппаратов
- •Сопряженное физическое и математическое моделирование
- •Моделирование гидродинамической структуры потоков в аппаратах
- •Структура потоков и ее характеристики
- •Математическое моделирование структуры потоков
- •Модель идеального вытеснения (мив)
- •Модель идеального смешения (мис)
- •Ячеечная модель (мя)
- •Диффузионная модель (мд)
- •Идентификация модели
- •Проверка адекватности модели
Математическое моделирование структуры потоков
Наиболее корректной математической моделью структуры потоков в аппарате является исчерпывающее описание. Решение системы уравнений неразрывности и движения совместно с условиями однозначности позволило бы найти поле скоростей в аппарате. Однако получить такое решение для большинства случаев невозможно. Поэтому на практике идут по пути упрощения модели, используя для характеристики структуры потока функцию распределения времени пребывания элементов потока в аппарате. Рассмотрим последовательно этапы математического моделирования на примере полого цилиндрического проточного аппарата.
На рис.4. показаны экспериментально найденные профили скоростей Wх в некоторых сечениях. Поскольку движение считается осесимметричным в верхней половине аппарата распределение скоростей будет иметь аналогичный вид. Как видим, поле скорости даже такого простого аппарата имеет существенную неоднородность.
Можно выделить две наиболее упрощенные идеализированные модели, характеризующие предельные ситуации: идеальное вытеснение и идеальное смешение, а также более реалистичные модели промежуточного типа, к которым относятся ячеечная и диффузионная модели.
Рис.4. Поле скорости Wx и характерные зоны в горизонтальном цилиндрическом проточном аппарате: 1,7 - застойные зоны; 2,6 - зоны смешения; 3 - пограничный слой; 4,5,8 - ядро потока.
Модель идеального вытеснения (мив)
Согласно этой модели все элементы потока движутся по параллельным траекториям с одинаковыми скоростями (рис.5). Время пребывания в аппарате для всех элементов такого потока одинаково.
Рис.5 Поле скорости Wx для модели идеального вытеснения.
Следовательно, во-первых, допущение о равенстве и постоянстве скоростей всех элементов потока позволяет сократить размерность задачи до одномерной, совместив ось X с направлением вектора скорости, во-вторых, отпадает необходимость решения уравнений неразрывности и движения для определения скорости, так как она может считаться заданной, в-третьих, отсутствие перемешивания элементов потока позволяет считать равными нулю коэффициенты диффузии (Dij, Dт =0). Тогда
(81)
или для одномерного случая (82)
где c=c(x,t) - концентрация меченых элементов потока в сечении аппарата с координатой x в момент времени t. Для нахождения решения необходимо дополнить уравнение (82) начальными и граничными условиями.
Для достижения нашей цели достаточно знать решение в сечении x=L, то есть на выходе из аппарата. Оно имеет вид
(83)
Полученные результаты имеют достаточно простой физический смысл. Поскольку все элементы потока движутся с одинаковой скоростью, то будут иметь одинаковое время пребывания в аппарате, совпадающее со средним. И если мы пометим элементы потока в узком слое на входе в аппарат, то выйдут они из аппарата все вместе через промежуток времени t = . Разумеется, на практике такая ситуация никогда не реализуется, так как для этого необходимо движение потока без трения на границах. Наиболее близка к МИВ структура турбулентного потока, движущегося по трубе при L/d>>1.