Локальная форма закона сохранения импульса

Аналогично законам сохранения массы и энергии можно получить локальную (для отдельной точки пространства) форму закона сохранения импульса. Отличие будет заключаться лишь в векторной природе переносимой субстанции - импульса единичного объема

(66)

где - ускорение, приобретаемое системой за счет действия массовых сил

Т.е. для единичного объема:

Разделив тензор потока импульса на конвективную часть и тензор вязких напряжений можно представить общий вид уравнения движения с использованием субстанциональной производной

(67)

Допустив постоянство коэффициентов молекулярной вязкости получим для ламинарного движения уравнение Навье-Стокса

, (68)

где (69)

Поскольку уравнение (68) является векторным, то может быть представлено в виде трех уравнений для всех координат. Можно поделить на плотность каждый из членов уравнения (68), тогда

(70)

Рассмотрим частные случаи уравнения Навье-Стокса. Для идеальной среды, движущейся без трения, =0, оно переходит в уравнение движения Эйлера

(71)

а для покоящейся среды в уравнение равновесия Эйлера

(72)

Решая уравнение движения совместно с уравнением неразрывности и условиями однозначности, можно получить поля давлений, скоростей и потоков импульса в аппарате. К сожалению, система уравнений (67) или (68) не имеет общего аналитического решения. Получены решения лишь для частных простейших случаев. Кроме того возможно численное решение этой системы дифференциальных уравнений в частных производных с использованием компьютеров. Однако это требует больших затрат машинного времени и затрудняет теоретический подход к проектированию аппаратов.

Исчерпывающее описание процессов переноса

Дифференциальные уравнения второго порядка в частных производных, полученные на основе уравнений переноса и законов сохранения массы, импульса и энергии или их частные случаи, а также условия однозначности к ним составляют исчерпывающее математическое описание процессов переноса (без учета переноса тепла посредством излучения). Оно, в принципе, позволяет решить как прямую задачу поверочного расчета любого аппарата, т.е. зная конструкцию и размеры аппарата, находить поля скоростей, давлений, температур и концентраций в нем; так и обратную задачу проектного расчета - определить конструкцию и размеры аппарата по требуемым значениям перечисленных выше величин на входе и выходе из него. Проблема заключается лишь в математической сложности решения этих задач.

Условия однозначности

Общее решение дифференциального уравнения описывает целый класс процессов. Для получения частного решения, соответствующего конкретным условиям проведения процесса, необходимо задание условий однозначности. Они включают:

1) геометрическую форму и размеры системы;

2) физические свойства участвующих в процессе сред;

3) начальные условия, характеризующие состояние системы в начальный момент времени (для нестационарных процессов);

4) граничные условия, характеризующие поведение системы на ее границах, либо взаимодействие с окружающей средой.

Рассмотрим математическую формулировку условий однозначности.

1) Форма и размеры системы (рабочая зона аппарата) задаются одной или несколькими поверхностями, ее ограничивающими. Так как размеры аппарата во времени не меняются, то типичные геометрические условия имеют вид Ф(х,y,z)=0. Например, поверхность вертикального цилиндра радиуса R задается уравнением Ф(х,y,z)=х²+y² - R²= 0.

2) Физические свойства среды характеризуются плотностью и коэффициентами переноса. Если правомерно допущение о постоянстве их значений, то они задаются числами. Однако, в общем случае плотность и коэффициенты молекулярного переноса зависят от температуры и соотношения концентраций компонентов, что требует задания таких зависимостей (Т, с_i), (Т, с_i), D(Т, с_i), а(Т, с_i). Еще сложнее дело обстоит с коэффициентами турбулентного переноса, т.к. они к тому же зависят от режима движения и пространственных координат _т(Т, с_i, [ ], х, y, z), D_т(Т, с_i, [ ], х, y, z), а_т(Т, с_i, [ ], х, y, z). Единственным упрощением является близость значений этих коэффициентов в одинаковых условиях _т~D_т~а_т.

3) Начальные условия предполагают задание значений искомых переменных в начальный момент времени в области пространства, ограниченной поверхностью Ф(х,y,z)=0, т.е. , Т = Т(х,y,z,0), Р=Р(x, y, z, 0), с_i = с_i (х,y,z,0), i=1,n.

4) Граничные условия предполагают задание значений давлений, скоростей, температур и концентраций, либо значений потоков массы, импульса и тепла или условий, накладываемых на них на границах системы, т.е. на поверхности

Ф(х,y,z)=0: , Т_гр = Т(х,y,z,t), с_iгр=с_i(х,y,z,t),

P_гр =P(x,y,z,t) i=1,n.

либо , , , i = 1,n, (х,y,zФ).