4. Работа. Кинетическая энергия

При решении задач на эти темы необходимо помнить следующее:

1. 

   Если к материальной точке приложена сила F, и материальная точка совершила перемещение (бесконечно малое!) ds, то работой силы F на этом бесконечно малом перемещении материальной точки ds называется величина:

dA = (F,ds) = Fdscos  = F_sds,

где  – угол между векторами F и ds, F_s – проекция вектора силы на направление перемещения точки.

2. Работа, совершённая силой при конечном перемещении материальной точки определяется как сумма работ на бесконечно малых участках, на которые можно разбить траекторию материальной точки.

3. Мощностью силы называется величина численно равная работе этой силы за единицу времени, точнее это отношение (производная) бесконечно малой работы рассматриваемой силы к тому времени , за которое она произведена:

4. Кинетической энергией Т материальной точки называется величина:

,

где m – масса, a  – скорость точки.

5. Непосредственно из второго закона Ньютона и определений работы и кинетической энергии легко получить соотношение между приращением кинетической энергии материальной точки и работой, которая совершена силой, приложенной к этой точке:

dT = dA

Это соотношение легко обобщается на случай конечного перемещения частицы:

,

где – значения кинетической энергии частицы в начале и конце траектории, соответственно, А₁₂ – работа, совершённая над частицей при её перемещении вдоль траектории. Это соотношение часто называют теоремой об изменении кинетической энергии частицы.

6. Кинетическая энергия системы аддитивна. Кинетическая энергия системы из N материальных точек равна сумме кинетических энергий точек, составляющих систему:

Т = Т₁+ Т₂+ … + Т_N

7. Кинетическая энергия T системы точек может быть представлена в следующем виде (теорема Кенига):

.

Здесь M – масса системы точек, V_ци – скорость центра инерции системы, Т₀ – кинетическая энергия этой системы частиц в системе отсчета, движущейся со скоростью центра инерции.

Наглядно теорему Кенига можно представить себе таким образом. Заключим систему частиц в некоторый ящик, скорость движения которого равна скорости центра инерции этой системы частиц. Тогда первое слагаемое обусловлено движением системы частиц вместе с ящиком, а слагаемое Т₀ – обусловлено движением частиц внутри ящика. Полная же кинетическая энергия системы частиц складывается из кинетических энергий обоих движений. Энергию Т₀, в свете этого представления, принято назвать внутренней кинетической энергией.

Заметим ещё, что при переходе в другую систему отсчёта, скорости всех точек изменяются, следовательно, изменяется и кинетическая энергия системы. Однако, как видно из теоремы Кёнига, при этом изменяется лишь первое слагаемое, величина которого зависит от скорости центра инерции. Внутренняя же кинетическая энергия Т₀ не изменяется. Таким образом, никаким выбором системы отсчёта невозможно сделать кинетическую энергию системы частиц меньше чем Т₀.

Заметим также следующее обстоятельство. Пусть система точек является замкнутой, тогда V_ци = const. Если частицы системы взаимодействуют между собой, то все эти взаимодействия могут изменять лишь величину Т₀, а слагаемое MV_ци²/2 изменяться не будет в силу закона сохранения импульса. Так при взрыве летящего снаряда скорость движения центра масс получившихся осколков не изменится.