Задача 8

Стержень массы m движется так, что его концы скользят по двум сторонам пря­мого угла. Найти кинетическую энергию стержня в тот момент, когда он образует угол  с одной из сторон угла, а его конец, движущийся по этой стороне, имеет скорость V.

Решение

Рис. 1

Проще всего решить задачу, если воспользоваться понятием мгновенной оси вращения. В данном случае эту ось легко отыскать. Поскольку направления скоростей концов стержня известны, то, проводя через эти концы перпендикуляры к векторам скоростей, найдём точку их пересечения О'. Через эту точку и проходит мгновенная ось вращения, поскольку при вращении твёрдого тела вектор скорости любой его точки направлен перпендикулярно радиусу окружности, по которой эта точка движется. Угловая скорость  вращения стержня связана со скоростью V его конца А соотношением:

V=O’A=lsin,

откуда находим угловую скорость:

.

Кинетическая энергия Т стержня:

где его момент инерции I относительно мгновенной оси вращения найдём по теореме Штейнера:

Окончательно:

Задача 9

На однородный сплошной цилиндр радиуса R и массы М намотана невесомая нерастяжимая нить, к концу которой подвешен груз массы m. В момент t = 0 система пришла в движение. Определить ускорение, с которым опускается груз и силу натяжения нити. Трением в оси вращения цилиндра пренебречь.

Решение

Изобразим силы, действующие на тела системы (рис.1). На груз действуют две силы - тяжести и сила натяжения нити Т. Из сил, действующих на цилиндр, рассмотрим лишь силу натяжения нити, которая вызывает вращение. Уравнение движения груза в проекции на ось ОХ имеет вид:

ma = mg – T,

а уравнение движения цилиндра в проекции на ось цилиндра (уравнение моментов относительно оси цилиндра) имеет вид:

,

где I – момент инерции цилиндра относительно его оси, TR – момент силы Т относительно оси цилиндра. Система уравнений содержит три неизвестных величины: a,  и Т, поэтому нужно еще одно уравнение. В качестве него можно использовать уравнение, связывающее скорость груза и линейную скорость точек поверхности цилиндра. Эти скорости равны, так как нить нерастяжима и не скользит по поверхности цилиндра. Итак,

R = .

Рис. 1

Дифференцируя это равенство по времени, получим:

.

Заменив во втором уравнении системы d/dt на a/R, и учтя, что момент инерции однородного цилиндра равен MR²/2, получим :

Задача 10

На наклонной плоскости, образующей угол  с горизонтом находится шар радиуса R. Центр шара находится на высоте h. С какой скоростью будет двигаться шар (его центр масс) после того, как он скатится с плоскости, если движение происходит без проскальзывания? Горка плавно переходит в горизонтальную плоскость, так что при скатывании шара удара о горизонтальную плоскость не происходит.

Решение

Применим закон сохранения энергии. В начальный момент шар покоился и его энергия определялась лишь его потенциальной энергией: U = mgh. После того, как шар скатился, его энергия определяется не только потенциальной энергией mgR, но и кинетической энергией. Последняя, в свою очередь, складывается, согласно теореме Кенига, из величины mV ²_ци/2 и I²/2, где V_ци – скорость центра масс шара,  – угловая скорость вращения шара, I – момент инерции шара относительно его диаметра. В силу закона сохранения энергии получаем:

(1).

Для нахождения  рассмотрим точку А, в которой шар соприкасается с плоскостью. Так как проскальзывания нет, то скорость этой точки равна нулю. С другой стороны, проекцию скорости этой точки на плоскость можно представить как сумму скорости центра масс шара V_ци и скорости R, которой обладает точка в своем вращении вместе с шаром. Эта скорость направлена навстречу движению центра инерции шара. Таким образом,

0 = V_ци – R,

откуда:

.

Из (1) находим тогда V:

Учитывая, что момент инерции шара I = 2mR²/5, получаем окончательно:

Как и следовало ожидать, скорость скатившегося шара оказалась меньше, чем скорость тела, свободно упавшего с такой же высоты, так как часть потенциальной энергии ушла на раскручивание шара.

Рис. 1

Всё довольно просто, но остаётся вопрос: а на каком основании мы пользовались законом сохранения энергии, коль скоро здесь присутствует сила трения? Действительно, наличие силы трения обычно приводит к потере энергии, здесь же мы этим полностью пренебрегли. На каком основании? Ответ, который обычно можно услышать, состоит в том, что поскольку нет скольжения, то сила трения покоя работы не совершает. Не знаю как вас, а меня это объяснение ни в чём не убеждает. Поэтому давайте разбираться основательнее. Согласно результату задачи 6 мощность внешних сил, приложенных к телу:

откуда элементарная работа этих сил

Итак, работа, которую совершают над телом внешние силы, состоит из двух частей, первая из которых F_внешV_циdt есть работа, которую совершают внеш­ние силы на перемещении dS_ци=V_циdt при поступательном движении тела, а вторая M_внешdt – работа моментов внешних сил при повороте тела на угол d = dt. Как видим, работа, совершаемая над твёрдым телом, определяется перемещением тела как в его поступательном, так и вращательном движении.

На тело в данной задаче действуют три силы – тяжести, трения и нормальная компонента реакции опоры. Нормальная компонента силы реакции опоры направлена перпендикулярно перемещению центра масс шара, и, кроме того, её момент относительно центра масс шара равен нулю. Поэтому её работа равна нулю.

Работа силы тяжести равна убыли потенциальной энергии тела:

dA_тяж = – dU.

Работа силы трения равна:

dA_тр =(–F_трdV_ци + F_тр R)dt.

Как было установлено, R = V_ци, поэтому работа силы трения:

dA_тр =(–F_трV_ци + F_тр V_ци)dt = 0.

Итак, работа силы трения действительно равна нулю. Но это, можно сказать, не совсем простой нуль. Работа силы трения состоит из двух равных по величине и противоположных по знаку частей. Первая, отрицательная часть работы, приводит к уменьшению скорости (точнее говоря, кинетической энергии) поступательного движения. Вторая, положительная часть, увеличивает кинетическую энергию вращательного движения. Но, в конце концов, работа силы трения оказывается нулевой, поэтому энергия тела сохраняется. Так что решение верное.

В заключение докажем, что потенциальная энергия тела в однородном поле тяжести равна

U = mgh_ци,

где h_ци – высота, на которой находится центр инерции тела, то есть – подчеркнем это – определяется только положением центра инерции тела и никак не зависит от его ориентации. При повороте тела в однородном поле тяжести вокруг его центра инерции потенциальная энергия тела в этом поле не меняется.

Для доказательства учтём, что твёрдое тело можно представлять как систему материальных "точек", поэтому его потенциальная энергия равна сумме потенциальных энергий этих "точек":

Здесь m – масса тела.