8. Движение тел в неинерциальных системах отсчета. Силы инерции

В ряде случаев решение задач динамики удобнее производить, рассматривая движение тел относительно неинерциальных систем отсчета, т.е. таких систем отсчета, которые движутся ускоренно относительно инерциальной системы отсчета.

Рис. 1

Пусть К – исходная, неподвижная (наша лабораторная) инерциальная система отсчета. Рассмотрим также систему К', которая движется относительно К. Движение системы К' можно представить как вращение с угловой скоростью  вокруг оси, которая в свою очередь, движется относительно К. Начало отсчета в К' выберем на оси вращения (см. рис. 1). Тогда для точки т:

V = V₀ + [,r'] +V'.

Если ограничиться случаем, когда вектор угловой скорости  вращения системы К' остаётся постоянным, то имеет место соотношение между ускорением частицы а по отношению к системе отсчёта К и её же ускорением а' по отношению к системе отсчёта К':

Здесь V₀ и а₀ скорость и ускорение начала отсчета системы К' (точки O' на рис. 1) относительно К. Величины со штрихом относятся к движущейся системе отсчёта К', без штриха – к неподвижной системе К.

Умножая обе части (2) на массу частицы m, и учитывая, что относительно К справедлив второй закон Ньютона:

ma = F,

получим:

Это уравнение есть основное уравнение динамики в неинерциальной системе отсчета. Как видим, а вообще говоря, отлично от нуля даже в случае F = 0, т.е. когда тело не взаимодействует с другими телами. Мы видим, таким образом, что ускоренное движение системы отсчета эквивалентно появлению сил инерции.

Первая из этих сил (–ma₀) связана с ускоренным поступательным движением неинерциальной системы отсчета. Как видим, такое движение системы отсчета, в смысле своего влияния на уравнение движения тела эквивалентно появлению однородного силового поля, причем сила, действующая в этом поле, равна произведению массы тела на ускорение системы отсчета а₀ и направлена в противоположную этому ускорению сторону.

Рис. 2

Сила 2т[V',] называется силой Кориолиса. Ее особенность состоит в том, что она зависит от скорости частицы относительно К'. Сила Кориолиса перпендикулярна вектору скорости частицы относительно К' и, следовательно, не совершает над ней работы.

Последняя сила т[,[r',]] называется центробежной. Нетрудно заметить, что ее можно записать в виде m²R, где R - вектор, проведенный перпендикулярно оси вращения к точке т (см. Рис.2). Центробежная сила консервативна, т.е. ее можно записать в виде:

F_R = – dU_цб/dR,

где F_R  – проекция F_цб на направление вектора R. U_цб можно назвать центробежной потенциальной энергией, а сама эта энергия равна:

Задача 1

На тележке, движущейся прямолинейно по горизонтальной поверхности с ускорением а укреплен штатив, к которому на невесомой нити подвешен маленький тяжелый шарик. Найти угол отклонения нити с шариком от вертикали. Решить задачу как с точки зрения неподвижного наблюдателя К, так и наблюдателя К', движущегося вместе с тележкой.

Решение

Рис. 1

Рассмотрим сначала движение шарика относительно неподвижного наблюдателя. Это движение происходит в горизонтальном направлении с ускорением а. При этом на шарик действуют две силы: сила тяжести mg и натяжения нити N. Запишем уравнение второго закона Ньютона в проекциях на горизонтальное и вертикальное направления:

ma = N sin,

0 = N cos – mg.

Исключив отсюда N, получим:

Рис. 1

Рассмотрим теперь движение шарика относительно наблюдателя К', движущегося вместе с тележкой. Шарик относительно тележки покоится, но, поскольку система отсчета К', связанная с тележкой неинерциальна, то условие равновесия шарика надо рассматривать с учетом сил инерции. Тележка движется поступательно, поэтому на шарик действует сила инерции, равная ‑та. Кроме нее на шарик действуют также сила тяжести mg и сила натяжения нити N. Сумма этих трех сил должна быть равна нулю, так как шарик в выбранной нами системе отсчета покоится. Записывая условия равновесия шарика в проекциях на горизонтальное и вертикальное направления, получим систему уравнений:

0 = N sin – ma,

0 = N cos – mg.

Исключив отсюда N, получим:

Как видим, решение этой задачи каждым из двух рассмотренных здесь способов совершенно одинаково. Это относится ко многим задачам механики, но не следует думать, что переход к неинерциальным системам отсчета не дает преимуществ никогда. В ряде задач такой переход сильно упрощает решение.