Задача 5

Через неподвижный невесомый блок перекинута замкнутая, тяжелая, нерастяжимая веревка массы М. В начальный момент времени за точку веревки, расположенную между блоком и нижним заворотом ее, цепляется обезьяна массы m и начинает карабкаться вверх по веревке так, чтобы удержаться на неизменной высоте. Какую мощность должна развивать обезьяна? Через сколько времени она перестанет справляться со своей затеей, если максимальная мощность, которую она может развивать, равняется Р_max?

Решение

На обезьяну действуют сила тяжести mg и сила реакции Q со стороны веревки. Согласно условию задачи обезьяна все время находится на постоянной высоте, т.е. относительно земли она покоится. Тогда, согласно второму закону Ньютона, сумма сил, действующих на обезьяну, равна нулю:

mg + Q = 0.

На веревку со стороны обезьяны согласно третьему закону Ньютона действует сила:

– Q = mg.

Под действием этой силы веревка будет двигаться, причем все ее части будут иметь одинаковую по величине скорость. Найдем, как скорость веревки изменяется с течением времени. Для этого используем соотношение между мощностью и скоростью изменения кинетической энергии:

.

В нашем случае:

Мощность, развиваемая обезьяной, равна:

P = N = mg,

откуда:

Т.к. согласно условию  = 0 при t = 0, то при t > 0, получим:

Полагая в этом равенстве Р = Р_тах найдем продолжительность обезьяньей забавы:

Задача 6

Автомобиль «Жигули» может двигаться с максимальной скоростью 50 км/час в гору с уклоном 16% (т.е. её наклон составляет 16⁰). При движении автомобиля по горизонтальной дороге с той же скоростью, его мотор развивает мощность P₁=20 лошадиных сил (1 л.с.  740 Вт). Какова максимальная мощность мотора? Принять массу автомобиля равной 1200 кг.

Решение

Движение автомобиля вызывается силой трения между ведущими колёсами и дорогой. Эта сила направлена вперёд. Будем называть эту силу силой тяги, чтобы отличать её от силы трения, действующей на ведомые колёса автомобиля, и направленной назад. Кроме того, воздух также создает силу сопротивления, которая зависит от скорости движения автомобиля.

Рис. 1

При равномерном движении автомобиля по горизонтальной дороге сумма сил, приложенных к автомобилю, равна нулю. Это означает, что сила тяги равна силе сопротивления (трения ведомых колёс и сопротивления воздуха), тем самым и мощность силы сопротивления равна мощности силы тяги:

F_сопрV = P₁.

При движении автомобиля в гору к силе сопротивления добавляется ещё и составляющая силы тяжести параллельная дороге (см. Рис.1):

F '_сопр = F_сопр +mg sin.

Соответственно, увеличится и сила тяги на эту же величину. Поэтому максимальная мощность мотора:

Р_макс =VF '_сопр = V(F_сопр +mg sin) = P₁ + Vmgsin.

Подставляя сюда числовые данные задачи, найдём:

Р_макс  20 +1412009,80,28/740  82 л.с.

Задача 7

Движущееся атомное ядро распалось на два осколка массами m₁ и m₂, импульсы которых оказались равными р₁ и р₂ , а угол между направлениями импульсов . Найти энергию, которая выделилась при распаде ядра.