Возмущение стационарных вырожденных состояний
Для вырожденных состояний рассмотренная теория не применима из-за обращения в нуль знаменателей в (6.13), (6.15) и (6.16).
Построим теорию двукратно вырожденных состояний и , удовлетворяющих уравнению , где . Уравнению удовлетворяет также суперпозиция . Появившееся возмущение действует на с коэффициентами и иначе, чем на с коэффициентами и . В результате возмущение снимает вырождение и в общем случае переводит систему в состояние с неопределенной энергией. Первый порядок теории возмущений дает коэффициенты и , с которыми состояние сохраняет определенность энергии, а также величину возмущенной энергии.
Невозмущенные состояния и ортонормированы
, . (6.18)
Рассматриваем суперпозиции
, . (6.19)
Найдем коэффициенты из условия, что возмущение в первом порядке не перемешивает и .
Возмущенные состояния. Повторяем рассуждения п. 6.1 применительно к состояниям , тогда , и из (6.9) получаем
, . (6.23)
Для нахождения коэффициентов , и поправки к энергии подставляем (6.19) для в (6.23)
. (6.24)
Проектируем уравнение на орт , умножая (6.24) слева на и интегрируя по объему. Аналогично проектируем (6.24) на орт . Учитывая (6.18), получаем:
,
, (6.25)
где . Для нахождения используем условие разрешимости системы уравнений (6.25)
.
Учитывая
,
находим энергии состояний после снятия вырождения
, ,
. (6.26)
Подстановка в (6.25) дает
, . (6.27)
Из (6.27) с учетом нормировки получаем коэффициенты состояния (6.19), которое не перемешивается возмущением.
Симметричное возмущение по отношению к и удовлетворяет условиям
, .
Из (6.26) и (6.27) находим
, , ,
тогда (6.19) получает вид
,
. (6.28)
Из (6.26) находим
, ,
. (6.29)
Возмущение отодвигает уровни друг от друга. Для невырожденных состояний отталкивание уровней возникает во втором порядке теории возмущений.
Пример симметричного возмущения. Однородное электрическое поле E действует на плоский ротатор в плоскости его вращения, как показано на рис. 5.1. Тогда , где θ – угол между полем и дипольным моментом ротатора. Из примера 6.1 используем
, ,
Для вырожденных при состояний получаем
,
.
В первом порядке теории возмущений уровни энергии не изменяются. Из (6.28) находим состояния, которые не перемешиваются возмущением:
,
.
Функции имеют определенные четности. Возмущение четное, поэтому оно сохраняет четности этих состояний, но перемешивает .