Примеры
На одномерную двухуровневую стационарную систему действует возмущение, зависящее от времени. Описать состояние системы, не используя приближенных методов.
Невозмущенные состояния , где , удовлетворяют
, .
Решение уравнения с возмущением
ищем в виде суперпозиции невозмущенных состояний
. (П.9.2)
Подстановка (П.9.2) в уравнение дает
.
Умножая равенство на 1, или на 2, интегрируя по пространству и учитывая условие ортонормированности, получаем уравнения для коэффициентов
,
, (П.9.3)
где , – частота перехода.
На двухуровневую систему в состоянии , где ; , действует периодическое возмущение с частотой , близкой к частоте перехода . Таким возмущением является гармоническая электромагнитная волна, действующая на систему с дипольным моментом ex. Найти возмущенное состояние системы.
Матричные элементы возмущения
, ,
, , .
Из (П.9.3) получаем
,
.
Вблизи резонанса , где – частота отстройки, для атомных переходов выполняется , где – характерное время жизни состояния. Тогда осциллирует с высокой частотой около нуля и этим вкладом можно пренебречь. Уравнения получают вид
, .
Замена с учетом преобразует уравнения к виду
, .
Дифференцируя последнее равенство и исключая с1, получаем
.
Решение ищем в виде
.
Это дает уравнение
,
откуда находим
, , (П.9.4)
где – частота Раби. В результате
, ,
тогда
, .
Из (П.9.2) получаем общее решение
+ .
Если при система находилась на уровне 1, тогда
,
.
Квадрат модуля коэффициента при 2 дает вероятность нахождения частицы на уровне 2
. (П.9.5)
С учетом (П.9.4) находим
. (П.9.6)
При точном резонансе получаем
. (П.9.7)
При совпадении частоты возмущения с частотой перехода 0 система периодически переходит между уровнями с частотой Раби
. (П.9.8)
Время перехода между уровнями уменьшается с увеличением энергии возмущения, что согласуется с соотношением неопределенностей время-энергия. При большой частоте отстройки вероятность нахождения частицы на уровне 2
(П.9.9)
– мала и осциллирует с частотой отстройки. Исидор Айзек Раби (1898–1988) разработал в 1937 г. метод магнитного резонанса для измерения магнитного момента у частиц в молекулярном пучке.
Вариационный метод
Если условие применимости теории возмущений не выполняется, то по заданному гамильтониану можно приближенно получить состояние системы в аналитической форме вариационным методом, который разработал В. Ритц в 1908 г. Метод основан на функционале энергии в виде среднего от гамильтониана по состоянию системы, содержащему искомый параметр. Минимум функционала при вариации параметра дает функцию состояния и энергию. Метод не позволяет оценить погрешность результата.
Функционал энергии. Пусть стационарная система находится в состоянии с условием нормировки . Вводим функционал энергии в виде среднего от гамильтониана
. (6.48)
Основное состояние. Функцию разлагаем по базису собственных функций гамильтониана, удовлетворяющих
, .
С учетом нормировки получаем
, .
Средняя энергия в состоянии
не может быть меньше энергии основного состояния Е0
. (6.49)
В пространстве нормированных функций абсолютный минимум функционала энергии равен энергии основного состояния Е0. Функция , обеспечивающая этот минимум, является волновой функцией основного состояния.
Возбужденное состояние. Возбужденное состояние ортогонально 0, тогда . Рассуждение, аналогичное предыдущему, дает энергию состояния
.
В подпространстве нормированных функций , ортогональных 0, абсолютный минимум функционала энергии равен энергии первого возбужденного состояния Е1. Функция , обеспечивающая минимум, является функцией этого состояния. Аналогичные рассуждения дают энергии и волновые функции вышерасположенных уровней.
Вариационный метод Ритца для стационарной одномерной системы использует волновую функцию с параметрами и А. Условие нормировки дает . Экстремум функционала энергии (6.48)
(6.50)
дает величину .
Алгоритм применения метода:
Выбираем пробную квадратично интегрируемую функцию основного состояния с параметрами α и A, исходя из граничных условий и особенностей поведения системы.
Нормировка за счет параметра А дает .
Используя гамильтониан системы, вычисляем функционал (6.48).
Из условия экстремума (6.50) определяем 0. Находим , ограничивающую сверху энергию основного состояния, а также волновую функцию основного состояния
.
Для первого возбужденного состояния выбираем пробную функцию с параметрами β и B, удовлетворяющую условиям ортогональности и нормировки:
, ,
и находим .
Вычисляем функционал энергии с искомой функцией
.
Из условия экстремума
(6.51)
получаем 1. Находим , ограничивающую сверху энергию первого возбужденного состояния, и соответствующую волновую функцию . Аналогично определяются остальные состояния.
ПРИМЕР
10.1. Вариационным методом найти энергии и волновые функции двух первых состояний линейного гармонического осциллятора.
Волновая функция основного состояния не имеет узлов и при обращается в нуль, поэтому выбираем . Условие нормировки дает . Из (6.48) с учетом , получаем
= =
.
Из (6.50)
находим . Энергия основного состояния является точным результатом. Для волновой функции основного состояния получаем
,
что совпадает с точным выражением (3.32а).
Для первого возбужденного состояния пробная функция ортогональна 0. Поскольку 0 – четная функция, то нечетная функция удовлетворяет . Нормировка дает . Из (6.48) находим
.
Условие (6.51) дает , тогда энергия первого возбужденного состояния , что является точным результатом. Аналогично получаем
.