Зависящее от времени возмущение

Зависящее от времени возмущение , действующее при , в первом порядке не изменяет уровней стационарной невырожденной системы, но вызывает переходы системы между уровнями. Получим вероятности переходов.

Невозмущенные состояния cтационарной системы с дискретным спектром

удовлетворяют уравнениям

, ,

ортонормированны

,

и образуют полный базис . Стационарное состояние с неопределенной энергией разлагается по этому базису

(6.30)

и удовлетворяет уравнению Шредингера

. (6.31)

Вероятность обнаружения системы на уровне равна

. (6.32)

Возмущенное состояние удовлетворяет уравнению

(6.33)

и разлагается по базису

(6.34)

с зависящими от времени коэффициентами. Для их нахождения подставляем (6.34) в (6.33) и учитываем (6.31)

.

Проектируем уравнение на , умножая его слева на и интегрируя по объему. С учетом получаем уравнение для коэффициентов

, (6.35)

где – матричный элемент возмущения;

(6.36)

– боровская частота перехода между уровнями k и n.

Первый порядок теории возмущений. Коэффициенты ищем в виде

, (6.37)

где – коэффициенты невозмущенного разложения (6.30); – поправка, вызванная возмущением. Подставляем (6.37) в (6.35) и ограничиваемся первым порядком возмущения

.

Интегрирование по t дает

. (6.38)

Учтено, что возмущение начинает действовать при и .

Коэффициент перехода между состояниями. Пусть при система находилась в состоянии m, тогда и (6.37) дает

,

где – коэффициент перехода в момент t. Из (6.38) получаем

. (6.39)

Правый индекс m соответствует начальному состоянию, левый – конечному.

Вероятность перехода , т. е. вероятность обнаружения системы в состоянии n, если при было состояние , находим из (6.39)

. (6.40)

Состояние при . По истечении большого промежутка времени интегрирование в (6.39) можно провести в бесконечных пределах

– коэффициент перехода при пропорционален Фурье-образу возмущения на частоте перехода.

Частные случаи:

а) Постоянное возмущение дает

.

Выполняется закон сохранения энергии, переходы происходят между вырожденными состояниями.

б) Адиабатическое возмущение соответствует матричному элементу , слабо изменяющемуся за время , тогда по теореме о частотной полосе – мало при и существенны переходы с низкими частотами .

Периодическое возмущение с частотой , действующее при :

дает коэффициент перехода (6.39)

,

где . По формуле Эйлера получаем

.

Для частоты возмущения , близкой к частоте перехода , второй интеграл, равный , гораздо больше первого, тогда

.

Используя

и вводя частоту отстройки , находим вероятность перехода

. (6.41)

Вероятность перехода за единицу времени

. (6.42)

При с учетом , из (6.42) находим

. (6.43)

Дельта-функция обеспечивает выполнение закона сохранения энергии . Переход совершается, если частота возмущения  равна частоте перехода и система получает энергию квантом , как показано на рис. 1.

Для переходов в квазинепрерывном спектре из состояния m в интервал состояний , из (6.43) получаем

. (6.44)

Плотность состояний квазинепрерывного спектра

(6.45)

равна числу состояний в единичном интервале энергии около уровня n, как показано на рис. 2.

1 2

Золотое правило Ферми. Из (6.44) и (6.45) получаем, что под действием возмущения вероятность переходов за единицу времени из начального состояния c энергией в интервал состояний равна

. (6.46)

Для возмущения вещественная и мнимая части дают одинаковые вклады, и вероятность переходов увеличивается в 4 раза.

Квантовый эффект Зенона. Древнегреческий философ Зенон Элейский (ок. 490–430 до н.э.) при логическом исследовании движения тела доказывал, что "движения нет", т. е. попытка зафиксировать движение приводит к его остановке. Подобное явление обнаруживается у квантового объекта – наблюдение за нестационарной системой, т. е. экспериментальное определение состояния, вызывает возмущение системы и уменьшает скорость квантовых переходов и распадов в этой системе. Действительно, вероятность состояния нестабильной системы изменяется с течением времени по нелинейному закону . Если состояние измеряется при , то вероятность исходного состояния велика и процесс измерения «переустанавливает часы на нуль». Непрерывное наблюдение останавливает процесс распада. Другое объяснение основано на соотношении неопределенностей. Измерение состояния системы уменьшает интервал ее возможных значений энергии, тогда согласно увеличивается время пребывания τ в этом состоянии. Явление описали Э. Сударшан и Б. Мисра в 1977 г. Для бозе-конденсата экспериментально обнаружено замедление скорости переходов в 30 раз.