Спин электрона
Собственный угловой момент частицы называется спином от англ. spin – «вращаться». Спин не связан с перемещением в пространстве и не выражается через координату и импульс частицы. Электрон имеет спин 1/2 и связанный с ним магнитный момент. Спин проявляется в особенностях спектров атомов, в поведении электронного пучка в неоднородном магнитном поле. Теория спина основана на аналогии между соотношениями для операторов спина и для операторов момента импульса.
Операторы спина и спиноры
Орбитальный
магнитный момент электрона.
Орбитальное движение электрона
описывается оператором
с собственным значением
,
где
.
С этим движением связан магнитный момент
с проекцией
(1.37)
,
(7.1)
где
– магнетон Бора. Число проекций магнитного
момента равно числу проекций орбитального
момента
.
Взаимодействие с магнитным полем
описывается гамильтонианом и средней
силой
,
.
(7.2)
Спин электрона.
Электрон в основном состоянии атома
водорода с
не имеет орбитального магнитного
момента. Влияние протона ядра на магнитные
свойства атома пренебрежимо мало,
поскольку
магнетон Бора
обратно
пропорционален массе, которая у протона
в ~1836 раз больше, чем у электрона. Поэтому
магнитное поле
не должно действовать на атом водорода
в основном состоянии. Этот вывод проверили
экспериментально в 1922 г. О. Штерн и В.
Герлах. Коллимированный пучок атомов
в основном состоянии проходил через
расположенное перпендикулярно
неоднородное магнитное поле в течение
времени t.
Исходный пучок расщеплялся на два пучка,
отклоняющихся симметрично от начального
направления на угол
.
Анализатор Штерна–Герлаха
Противоречие с теорией устранили в 1925 г. Дж. Уленбек и С. Гаудсмит, введя спин электрона и связанный с ним магнитный момент. По углу θ были вычислены проекции магнитного момента электрона
.
(7.3)
Опыт Штерна–Герлаха
дает два спиновых состояния электрона.
Исходя из аналогии спина s
с орбитальным моментом l,
получаем
,
тогда спиновые
квантовые числа
s
и
,
спиновый
момент
и его проекция
равны
,
,
,
.
(7.4)
Спиновый магнитный момент электрона (7.3) выражается через спин
,
.
(7.5)
Знак «–» связан с отрицательным зарядом электрона. Полный магнитный момент электрона складывается из орбитального (7.1) и спинового (7.5) моментов
.
(7.6)
Операторы спина вводятся по аналогии с операторами момента импульса
,
,
,
,
,
и удовлетворяют соотношениям, аналогичным (4.5):
,
,
,
.
(7.7)
Поскольку спин не
выражается через координату и импульс,
то
коммутирует с
и
.
Уравнения для собственных функций
операторов спина аналогичны (4.14)–(4.15)
,
.
(7.8)
Матрицы Паули. В набор квантовых чисел электрона в атоме кроме n, l, m входит спиновое число , тогда функция состояния
.
Поскольку
двузначная величина, то считаем
двухэлементной матрицей
– спинором,
тогда операторы спина получают матричную
форму
,
,
,
.
(7.9)
Матрицы Паули
,
,
,
(7.10)
удовлетворяют соотношениям
,
,
,
,
,
,
,
,
;
,
,
,
,
(7.11)
что обеспечивает выполнение (7.7). Из (7.9) – (7.11) получаем
,
,
,
.
Эрмитово сопряжение матрицы включает комплексное сопряжение * и транспонирование T ее элементов
.
(7.12)
Используя (7.9) и (7.10) получаем, что операторы спина и матрицы Паули эрмитовые, например
.
Нормировка и
ортогональность
спиноров
и
имеют вид
,
(7.13)
.
(7.14)
Среднее значение проекции k спина по нормированному состоянию определяется в виде
.
(7.15)
Собственные функции оператора удовлетворяют уравнению
.
Решение ищем в
виде
.
Подстановка в уравнение дает
,
.
Сравнивая элементы матриц, получаем систему алгебраических уравнений
,
.
Если
,
то
и
;
если
,
то
и
.
Из условия нормировки (7.13) с точностью
до фазового множителя получаем для
оператора
собственные функции
,
;
,
;
,
,
(7.16)
взаимно ортогональные и образующие полный ортонормированный базис. Произвольное спиновое состояние разлагается по базису
,
,
.
(7.17)
Вероятности
обнаружения проекций спина
равны
,
.
(7.18)
Свободный электрон со спином, направленным по оси z, с энергией Е и импульсом р описывается спинором
.
(7.19)