Распределение Ферми–Дирака

Среднее число фермионов в одном состоянии. По принципу Паули в одном состоянии может быть не более одного фермиона, тогда

.

Из (4.5а) и (4.6) находим

,

.

Для среднего числа фермионов в состоянии с энергией  получаем распределение Ферми–Дирака

. (4.8)

Уровень и энергия Ферми. Из (4.8) при с учетом

,

следует показанная пунктиром на рис. а ступенчатая функция

. (4.8а)

а б

При уровни с энергией заполнены полностью, уровни свободные, как показано для электронов на рис. б. Наибольшая энергия при называется энергией Ферми _F, соответствующий уровень – уровнем Ферми. При добавлении электрона в систему, согласно принципу Паули, он занимает свободное состояние вблизи уровня Ферми. Энергия системы увеличивается на _F. Химический потенциал равен средней энергии добавляемой частицы, тогда

.

При тепловое движение перебрасывает частицы через уровень Ферми и они занимают уровни с большей энергией, освобождая уровни с меньшей энергией. Для оценки переходной области вычисляем производную распределения по энергии. Из (4.8) при получаем

,

где угол  показан на рис. а. Ширина переходной области увеличивается с ростом температуры. При любой температуре

. (4.8б)

Химический потенциал фермионов равен энергии состояния со степенью заполнения 1/2.

Распределение Бозе–Эйнштейна

Среднее число бозонов в одном состоянии. Для бозонов возможное число частиц в одном состоянии

Из (4.5а) получаем

.

Геометрическая прогрессия сходится, если основание прогрессии , тогда . Считаем энергии уровней , тогда химический потенциал бозонов не может быть положительным

. (4.9)

По формуле геометрической прогрессии

получаем статистическую сумму

,

.

Из (4.7) в виде

находим

.

Для среднего числа бозонов в состоянии с энергией  получаем распределение Бозе–Эйнштейна

. (4.10)

Условие

обеспечивает при любой энергии и температуре. При получаем

. (4.11)

Распределения частиц в классических и квантовых системах

Распределение классических частиц по энергии, выраженное через химический потенциал , имеет вид (2.62в)

.

Учитывая плотность состояний классического газа (3.8а)

,

находим среднее число частиц в состоянии с энергией , т. е. распределение Максвелла–Больцмана

. (4.12)

Распределения (4.8), (4.10) и (4.12) объединяет формула

, (4.13)

где

Распределения Максвелла (М),

Бозе–Эйнштейна (Б), Ферми–Дирака (Ф)

Квантовые распределения (4.8) и (4.10) переходят в классическое распределение (4.12) при

,

тогда

.

Используя активность

,

для классической системы получаем

, , . (4.14)

Химический потенциал системы. Если частица имеет сохраняющийся заряд – электрический, и/или барионный, и/или лептонный, то число частиц в изолированной системе не изменяется в силу закона сохранения заряда. Тогда химический потенциал определяется из условия нормировки распределения на число частиц системы. Используя

,

получаем число частиц

, (4.15)

где n – концентрация частиц. Учитывая плотность состояний трехмерного газа (3.8а)

,

где

,

и распределение (4.13), получаем концентрацию

. (4.16)

Химический потенциал зависит от массы частицы m, от числа спиновых состояний N_S, от концентрации n, от температуры T, от рода газа и от размерности координатного пространства, в котором находится газ.

Химический потенциал трехмерного газа фермионов

Виды фермионного газа:

– Невырожденный газ близок к классическому газу;

– Вырожденный газ проявляет квантовые свойства.

Невырожденный газ описывается распределением Максвелла. Для получения химического потенциала используем (4.16) при

,

где учтено

.

Откуда находим

,

. (4.17)

Химический потенциал невырожденного газа отрицательный, увеличивается с понижением температуры и с ростом концентрации частиц. При результат совпадает с химическим потенциалом (2.62а) классического газа. Из (4.14)

, (4.18)

получаем условия применимости классического распределения:

– масса частицы m – большая;

– концентрация частиц n – мала;

– температура T – велика.

Вырожденный газ фермионов проявляет квантовые свойства и нарушает условия (4.18), тогда

, .

Условия применимости квантового распределения:

– масса частицы мала;

– концентрация частиц велика;

– температура не превышает критического значения ;

– ширина переходной области мала по сравнению с энергией Ферми;

– тепловая энергия возбуждает незначительное количество из общего числа частиц.

Критическая температура фермионов определяется условием

.

Из (4.16) получаем

.

Интеграл равен , тогда

. (4.19)

Для электронов ,

.

При наиболее вероятная скорость соответствует длине волны де Бройля

.

Концентрация выражается через среднее расстояние между электронами d

.

Тогда из (4.19) получаем

.

При критической температуре длина волны де Бройля сравнима со средним расстоянием между частицами.

Для квантового газа

.

Для классического газа , ширина переходной области сопоставима с максимальной энергией фермионов, все электроны получают тепловое возбуждение, наиболее вероятный импульс большой, длина волны де Бройля мала

.

Для электронного газа в металле

n  (1…18)10²² см^–3, m  10^–27 г, .

При нормальной температуре получаем , газ вырожден, доля возбужденных электронов не превышает 1 %. Это объясняет противоречие между классической теорией теплоемкости и экспериментом, показавшим, что электронный газ не дает вклада в теплоемкость металла.

Для собственного полупроводника

n  10¹⁷ см^–3, .

При нормальной температуре , газ не вырожден, выполняется распределение Максвелла.

Молекулярный газ, например гелий с m » 3700 m_эл, остается невырожденным до очень низких температур.

Тепловые флуктуации числа частиц. Из (4.5) и (4.6) для идеального газа бозонов, фермионов и классических частиц находим

,

,

.

Тогда дисперсия числа частиц

.

Для распределения (4.13)

получаем

,

тогда

. (4.20)

Для фермионов ,

.

При 0 и 1 получаем , на уровне Ферми и D_max = 0,25. Флуктуация фермионов не велика и максимальна на уровне Ферми.

Для бозонов ,

.

При большой заселенности уровня дисперсия велика

_.

Это объясняется взаимной интерференцией волновых пакетов, представляющих отдельные частицы и следующих в случайной последовательности. При интерференции двух волн с равными амплитудами наибольшая амплитуда удваивается, а интенсивность волны и плотность вероятности учетверяются. Наименьшая амплитуда и плотность вероятности равны нулю. В результате дисперсия числа частиц увеличивается. Интерференцией объясняется взаимное «притяжение» бозонов – при тепловом равновесии бозоны перемещаются группами. Например, фотонные пары с меньшим временным интервалом регистрируются чаще, чем пары с большим интервалом. Вероятность найти тождественные бозоны в близких квантовых состояниях выше, чем вероятность найти нетождественные частицы.

У фермионов перекрытие когерентных пакетов запрещено принципом Паули. Это приводит к взаимному «отталкиванию» фермионов и уменьшает флуктуацию числа частиц.

Корпускулярно-волновой дуализм бозонов. Из теории вероятности известно, что дисперсия аддитивна, если обусловлена независимыми причинами. Для бозонов

.

Линейное слагаемое соответствует классическим частицам, флуктуация является дробовым шумом. Квадратичное слагаемое соответствует интерферирующим волнам, флуктуация является волновым шумом. Наличие двух вкладов в дисперсию фотонов обнаружил А. Эйнштейн в 1909 г. Он рассматривал этот факт как проявление корпускулярно-волнового дуализма, т. е. совмещения волновых и корпускулярных свойств. При малой энергии, низкой частоте, большой длине волны заселенность состояний бозонов велика , тогда и система проявляет волновые свойства. При большой энергии, большой частоте, малой длине волны заселенность мала , тогда и система проявляет корпускулярные свойства. Для классического идеального газа , дисперсия мала . Флуктуация является дробовым шумом, газ ведет себя как множество частиц.