Примеры

1. Получить распределение электронов трехмерного газа по модулю и по проекциям скорости. Найти среднюю скорость при .

В распределении (4.21)

переходим от энергии к модулю скорости

, ,

и находим

, (П.10.1)

где функция распределение Ферми–Дирака по модулю скорости

. (П.10.1а)

При выполняется

,

где с учетом (4.22) скорость Ферми

,

тогда распределение (П.10.1а) получает вид

. (П.10.1б)

Функция (П.10.1б) показана на рис. 4.7 сплошной линией. Средняя скорость равна

,

где вероятность

.

Подставляя (П.10.1б), находим

.

Для серебра v_F = 1,3910³ км/c, .

Рис. 4.7. Распределение электронов по модулю скорости

В декартовой системе координат заменяем

и из (П.10.1) получаем распределение Ферми–Дирака по проекциям скорости

, (П.10.2)

где .

10.2. Доказать, что в состоянии равновесия соприкасающихся металлов их уровни Ферми выровнены.

Пусть до контакта металлов химические потенциалы , как показано на рис.4.8,а. Направляем ось x перпендикулярно общей границе металлов. За единицу времени через единицу площади из металла в соседний металл переходит число электронов

.

Из (П.10.2) получаем

.

При переходе электрона его полная энергия не изменяется. Из рис. 4.8,а получаем

,

тогда

, , .

Дифференцируя равенства, находим

, , .

После установления равновесия, образовавшегося в результате перераспределения электронов, изменились химические потенциалы металлов , выровнялись температуры и потоки в прямом и обратном направлениях:

, .

Используя явный вид , получаем

, ,

где – внутренняя контактная разность потенциалов. С учетом (4.22) находим

,

где n_i – концентрация электронов проводимости. Условие

означает выравнивание уровней Ферми на рис. 4.8,б. Вводя электрохимические потенциалы согласно (2.59) и , получаем условие равновесия .

а б

Рис. 4.8. Металлы 1 и 2 до (а) и после (б) контакта

3. Найти плотность тока термоэлектронной эмиссии, используя квантовую функцию распределения.

Кусок заземленного металла является потенциальной ямой, где электроны заполняют квазинепрерывные уровни энергии согласно распределению (4.8), показанному пунктирной линией на рис. 4.9. Заштрихованный хвост распределения выходит за пределы ямы, и часть электронов покидает металл. Около его поверхности образуется электронное облако и устанавливается равновесие между потоками электронов из металла в вакуум и из вакуума в металл:

.

Условие равновесия (2.60) означает, что химические потенциалы внутри и вне металла одинаковые. Если известна концентрация электронов около поверхности металла n, тогда из (2.52) следует плотность потока электронов из вакуума в металл:

.

Использование формулы классического газа оправдано малой концентрацией электронов вне металла.

Рис. 4.9. Распределение электронов в металле

При нахождении n учитываем, что кинетическая энергия электрона, вышедшего из металла, равна

,

где  – глубина потенциальной ямы, или электронное сродство. Согласно (3.8), плотность состояний вышедших электронов

.

Учитывая распределение (4.8) и интегрируя , находим концентрацию электронов около поверхности металла

.

Заменяем  =  + x и вводим работу выхода

.

Например, для вольфрама А = 4,52 эВ, kT = 0,259 эВ при Т = 3000 К. Следовательно, единицей в знаменателе интеграла можно пренебречь, что соответствует переходу к распределению Максвелла, тогда

.

Используя

,

для плотности тока насыщения термоэлектронной эмиссии получаем формулу Ричардсона–Дэшмана (1930 г.)

, (П.10.3)

где . Для никеля А = 4,3 эВ, тогда при Т = = 1600 К получаем J = 9 мкА/см². Выражение (П.10.3) отличается от формулы Ричардсона (П.5.12) дополнительным множителем Т^3/2.

3. Для собственной проводимости полупроводника без примесей найти концентрации электронов и дырок и химический потенциал.

Полупроводник при имеет свободную от электронов зону проводимости, показанную на рис. 4.10, и полностью заполненную валентную зону, отделенную запрещенной зоной шириной E_g. Тепловое движение перебрасывает электроны через запрещенную зону, в зоне проводимости появляются электроны, в валентной зоне – вакантные места – дырки. При термодинамическом равновесии химические потенциалы электронов и дырок равны. Энергию частиц отсчитываем от края валентной зоны.

Рис. 4.10. Распределения электронов и дырок полупроводника

В зоне проводимости кинетическая энергия электрона

,

тогда для единицы объема плотность состояний (3.8)

.

Концентрация электронов n_e мала, поэтому газ невырожденный и

.

Используя

,

находим

. (П.10.4)

Концентрация электронов со всеми энергиями в зоне проводимости

.

Заменяя и интегрируя, получаем

, (П.10.5)

где

.

Например, для Si – E_g = 1,14 эВ, m_e = 0,2 m и при T = 300 К получаем n_пр = 2,210¹⁸ см^–3. Выражая эффективную массу электрона через концентрацию электронов при помощи (П.10.5), из (П.10.4) находим

. (П.10.4а)

В валентной зоне  < 0,

и плотность состояний (3.8) дырок h (от англ. hole – «дырка»)

.

Дырки – это не заполненные электронами состояния, тогда

.

Учитывая (4.8)

,

получаем

.

Концентрация дырок мала, газ невырожденный, пренебрегая единицей в знаменателе, получаем

.

В результате

. (П.10.6)

Концентрация дырок со всеми энергиями равна

.

Заменяя и интегрируя, получаем

, (П.10.7)

где

.

Выражая эффективную массу дырки через концентрацию дырок при помощи (П.10.7), из (П.10.6) находим

. (П.10.6а)

В полупроводнике без примесей концентрация электронов в зоне проводимости равна концентрации дырок в валентной зоне, тогда из (П.10.5) и (П.10.7) находим

. (П.10.8)

Следовательно, концентрация носителей заряда увеличивается с ростом температуры и при уменьшении ширины запрещенной зоны. Условие электронейтральности

с учетом (П.10.5) и (П.10.7) дает

,

откуда находим химический потенциал

. (П.10.9)

При Т  0 получаем

.

Следовательно, при низких температурах уровень Ферми расположен в середине запрещенной зоны. Чем выше температура, тем сильнее приближается уровень Ферми к той зоне, где масса частиц и плотность состояний меньше. При равенстве эффективных масс электронов и дырок уровень Ферми расположен в середине запрещенной зоны при любой температуре.

3. Для полупроводника n-типа найти химический потенциал при низкой температуре.

Пусть в единице объема полупроводника имеются N локальных центров донорной примеси с энергией E_d, как показано пунктиром на рис. 4.11. Часть электронов уходит с донорного уровня в зону проводимости, число оставшихся электронов . При термодинамическом равновесии химические потенциалы электронов полупроводника и

Рис. 4.11. Полупроводник n-типа

донорного уровня одинаковые ( ). При постоянных температуре и объеме химический потенциал, согласно (2.61а), равен изменению свободной энергии при добавлении частицы, тогда

. (П.10.10)

Учитывая (2.31)

и (2.13) или (2.37)

,

получаем

,

где Г – число микросостояний. Для донорного уровня

,

тогда из (П.10.10) находим

.

Используя (П.2.7), получаем число микросостояний донорного уровня

.

Тогда находим

,

,

.

Число ионизованных доноров равно

. (П.10.11)

Учитывая число электронов в зоне проводимости (П.10.5) , где , пренебрегая числом дырок в валентной зоне, получаем условие электронейтральности

в виде

. (П.10.12)

При достаточно низкой температуре

из (П.10.12) находим

. (П.10.12а)

При Т  0 получаем

.

Следовательно, уровень Ферми находится посредине между донорным уровнем и дном зоны проводимости.

3. Найти химический потенциал и внутреннюю энергию слабо вырожденного трехмерного газа с активностью .

Активность находим из (4.7а)

.

Для этого разлагаем знаменатель в ряд по степеням А и оставляем первые два слагаемые

= .

Второе слагаемое в квадратных скобках полагаем равным нулю и в первом приближении получаем (4.18)

.

В следующем приближении во втором слагаемом полагаем А = А_кл, тогда

,

. (П.10.13)

Следовательно, химический потенциал слабо вырожденного ферми-газа больше, а бозе-газа меньше, чем у классического газа.

Внутренняя энергия квантового газа

с учетом (3.8) и (4.4) равна

.

Разлагая знаменатель в ряд по степеням А и оставляя первые два слагаемые, получаем

.

Используя (П.10.13)

,

находим

.

Учитывая

и выражение (4.17) для классической активности, получаем внутреннюю энергию слабо вырожденного газа:

. (П.10.14)

По сравнению с классическим газом внутренняя энергия фермионов больше, а бозонов меньше. Это соответствует взаимному «отталкиванию» фермионов благодаря принципу Паули и «притяжению» бозонов, имеющему квантовую интерференционную природу.

10.7. Вычислить F  , где  = 1, при сильном вырождении, соответствующем .

Заменяя , получаем

.

Используя

, ,

преобразуем второй интеграл:

.

При полагаем в последнем интеграле верхний предел , а во втором интеграле заменяем

,

тогда

.

Разлагая в ряд Маклорена и ограничиваясь первыми двумя слагаемыми, находим

.

Используя

,

получаем разложение Зоммерфельда при  = 1 и :

. (П.10.15)

Используя

,

при  = –1 и находим

. (П.10.16)

Формулы (П.10.15) и (П.10.16) установил Арнольд Зоммерфельд в 1928 г. при разработке квантовой теории металлов.

10.8. Найти химический потенциал, внутреннюю энергию и теплоемкость сильно вырожденного электронного газа .

Интеграл в (4.16) вычисляем, используя (П.10.15) с , тогда

.

Учитывая (4.22) в виде , получаем

.

При находим

. (П.10.17)

Следовательно, с увеличением температуры химический потенциал сильно вырожденного электронного газа уменьшается. Для большого интервала температур график (Т) показан на рис. 4.3.

Интеграл (4.27)

вычисляем, используя (П.10.15) с , тогда

+ ,

где учтено (П.10.17) и отброшены слагаемые с . Внутренняя энергия равна

, (П.10.18)

где

– внутренняя энергия (4.29) при абсолютном нуле. Второе слагаемое (П.10.18) по порядку величины равно , где множитель в скобках является тепловой энергией электрона. Множитель равен число активированных электронов в полосе энергии шириной kT на рис. 4.4. Только эти электроны дают вклад в теплоемкость и их доля мала при . Из (П.10.18) находим

. (П.10.19)

Для серебра . Следовательно, теплоемкость вырожденного электронного газа в металле при нормальной температуре пренебрежимо мала по сравнению с теплоемкостью кристаллической решетки, равной , и пропорциональна первой степени температуры. При для электронного газа получаем , что согласуется с третьим началом термодинамики.

10.9. Для трехмерного идеального газа бозонов и фермионов получить уравнение состояния и внутреннюю энергию.

В уравнение состояния (2.79)

подставляем (4.4)

,

тогда

.

Учитывая статистическую сумму для бозонов и фермионов (4.11а)

,

получаем

.

Для квазинепрерывного спектра от суммирования переходим к интегрированию . Используя плотность состояний (3.8)

,

получаем

.

Вычисляя интеграл по частям, где

, , , ,

находим

.

Тогда получаем уравнение состояния

. (П.10.20)

Внутренняя энергия

с учетом (4.11) равна

. (П.10.21)

Сопоставляя (П.10.20) и (П.10.21), получаем уравнение состояния трехмерного нерелятивистского квантового газа

. (П.10.22)

Для слабо вырожденного газа используем внутреннюю энергию (П.10.14), активность (4.17) и из (П.10.22) находим

. (П.10.23)

Полученное уравнение состояния квантового газа отличается от уравнения Менделеева–Клапейрона на слагаемое, имеющее знак плюс для фермионов и минус для бозонов. Давление бозонов на стенки сосуда уменьшается за счет «притяжения» между ними, вызванного квантовым интерференционным эффектом. Для фермионов давление увеличивается за счет «отталкивания» частиц друг от друга, вызванного принципом запрета Паули.

10.10. Найти концентрацию электронов, при которой они становятся ультрарелятивистскими при благодаря принципу Паули. Получить уравнение состояния ультрарелятивистского газа фермионов и бозонов. Рассмотреть трехмерную и двумерную системы.

С увеличением концентрации электронов повышается энергия Ферми. Для ультрарелятивистского трехмерного газа используем плотность состояний (П.8.8)

.

Учитывая распределение Ферми–Дирака (4.8а), при находим концентрацию электронов

.

Тогда энергия Ферми ультрарелятивистского газа

. (П.10.24)

В пределе v  c выполняется , тогда

.

Такая концентрация существует в звезде «белый карлик».

Для ультрарелятивистского двумерного газа используем плотность состояний (П.8.8б)

.

Учитывая распределение Ферми–Дирака (4.8а), при находим поверхностную концентрацию электронов

.

Тогда энергия Ферми ультрарелятивистского двумерного газа

. (П.10.24а)

Повторяя рассуждения примера 10.9, для трехмерного газа находим

.

Интегрирование по частям, где

, , , ,

дает

.

Для внутренней энергии получаем

.

Сравнение результатов дает уравнение состояния ультрарелятивистского трехмерного газа

. (П.10.25)

Для двумерного газа используем

.

Интегрирование по частям, где

, , , ,

дает

.

Для внутренней энергии получаем

.

Сравнение результатов дает уравнение состояния ультрарелятивистского двумерного газа

. (П.10.25а)

11. Найти намагниченность электронного газа в магнитном поле.

Проекция спинового магнитного момента электрона равна

,

где _В – магнетон Бора. На заполненном энергетическом уровне находятся два электрона с антипараллельными спинами, их магнитные моменты компенсированы и такое состояние не проявляет магнитных свойств. Не равный нулю магнитный момент имеет состояние с одним электроном, которое для вырожденного газа расположено вблизи уровня Ферми с энергией . Концентрация таких электронов

,

где – плотность состояний в единице объема на уровне Ферми; – изменение энергии электрона при повороте спина. Учитывая

,

получаем число состояний в единице объема с одним электроном

.

При включении магнитного поля половина электронов разворачивается, проекции их магнитных моментов изменяются на

.

У другой половины магнитные моменты изначально ориентированы по полю. В результате магнитный момент единицы объема ориентирован по направлению поля и электронный газ парамагнитный с намагниченностью

. (П.10.26)

Магнитная восприимчивость равна

. (П.10.27)

Учитывая (4.23)

,

получаем парамагнитную восприимчивость Паули вырожденного электронного газа

, (П.10.28)

не зависящую от температуры.

65