Ферми-поверхности металлов

Пересечение границ зоны, изображенных многогранниками, поверхностью Ферми происходит под прямым углом. Граница зон соответствует стоячим волнам и нулевой групповой скорости

, .

Следовательно, поверхность E(P) подходит перпендикулярно к границе зоны.

Средняя энергия электрона. Из (4.21) получаем вероятность того, что энергия электрона находится в интервале :

, (4.26)

причем

.

Учитывая (4.22)

,

находим среднюю энергию

. (4.27)

Внутренняя энергия и давление электронного газа при . Функция распределения ступенчатая и из (4.27) получаем

. (4.28)

Внутренняя энергия газа из N электронов при абсолютном нуле вызвана принципом Паули и равна

. (4.29)

Используя (2.57) и (4.29), получаем давление

. (4.30)

Давление электронного газа при абсолютном нуле температуры равно двум третям от внутренней энергии единицы объема, что совпадает с результатом для классического газа. Для золота

n = 5,910²² см^–3, P₀  10¹¹ Па  10⁶ атм.

Кроме металлов существуют другие объекты, где вырожденный газ фермионов определяет основные свойства вещества. Звезда «белый карлик» состоит из гелия плотностью порядка 10⁶ г/см³. Сильное гравитационное сжатие звезды отрывает атомные электроны от ядер и образуется электронный газ, давление которого противостоит сжатию. Масса такой звезды порядка массы Солнца, радиус порядка радиуса Земли. Расстояния между полностью ионизованными атомами d ~ 10^–2 Ǻ, что почти в 100 раз меньше, чем в молекуле водорода. Концентрация электронов, энергия Ферми, температура Ферми, температура звезды

n ~ 10³⁰ см^–3, _F ~ 300 кэВ, T_F ~ 310⁹ К, T ~ 10⁷ К.

Следовательно, и электронный газ вырожден.

При дальнейшем увеличении массы звезды гравитационное сжатие увеличивает концентрацию электронного газа. Протоны атомных ядер захватывают электроны, превращаясь в нейтроны. Давление газа, противостоящее сжатию, резко уменьшается из-за большой массы нейтрона и гравитация рывком сжимает звезду. Устойчивость «нейтронной звезды» обеспечивается вырожденным газом нейтронов благодаря их возросшей концентрации. Масса этих звезд несколько больше массы Солнца, радиус, температура, концентрация и плотность равны

R ~ (20…30) км, T ~ 210⁶ К, n ~ 10³⁸ см^–3,  ~ 10¹⁴ г/см³.

Двумерный электронный газ

Для тонкой пленки получим распределение поверхностной концентрации электронов по энергии, химический потенциал электронного газа и среднюю энергию электрона.

Спектр энергии электрона в квантовой пленке

,

где – импульс в плоскости пленки. Энергия поперечного движения для непроницаемых поверхностей пленки толщиной L совпадает со спектром одномерной потенциальной ямы с непроницаемыми стенками

,

Считаем пленку настолько тонкой, что все электроны находятся в нижней зоне . Это ограничивает химический потенциал

.

Распределение электронов по энергии. Плотность состояний, приходящаяся на единицу площади, получена в (П.8.4а)

.

Используя распределение Ферми–Дирака (4.8)

,

получаем число электронов на единице площади с энергией в единичном интервале около значения ε

. (4.31)

Поверхностная концентрация электронов

не зависит от температуры и равна

. (4.32)

Заменяем и используем

,

тогда

. (4.33)

Это дает химический потенциал

. (4.34)

Химический потенциал растет с увеличением поверхностной концентрации электронов, с уменьшением эффективной массы и слабо зависит от температуры.

Вероятность, что электрон имеет энергию в интервале , получаем из (4.31)

. (4.34а)

Вырожденный газ соответствует высоким концентрациям, низким температурам и малым массам частиц, тогда в (4.34)

. (4.35)

Пример – примесная n-проводимость GaAs с поверхностной концентрацией . При комнатной температуре за счет малой эффективной массы на дне зоны проводимости получаем и условие вырождения выполняется.

Из (4.34) находим

,

. (4.36)

Химический потенциал вырожденного двухмерного газа линейно зависит от поверхностной концентрации электронов, обратно пропорционален эффективной массе и не зависит от температуры.

Условие нахождения вырожденного газа электронов в нижней зоне

с учетом (4.36) ограничивает концентрацию

. (4.37)

Из условий (4.35) и (4.37) получаем

.

Это ограничивает температуру

, (4.37а)

где учтен спектр

.

Ограничение (4.37) на поверхностную концентрацию получает вид

.

Для n-проводимости GaAs с получаем ограничение на толщину пленки .

Энергия и импульс Ферми. При

.

Функция распределения (4.31) становится прямоугольной

.

Из (4.32) при

находим уровень Ферми в пленке

, (4.38)

согласующийся с (4.36). Энергия Ферми линейно зависит от поверхностной концентрации и обратно пропорциональна эффективной массе.

Из (4.38) получаем импульс Ферми,

. (4.38а)

Средняя энергия электрона. Учитывая независимость химического потенциала от температуры, из (4.38) выражаем

и подставляем в (4.34а)

.

Средняя энергия электрона

. (4.39)

При абсолютном нуле

.

Внутренняя энергия единицы площади электронного газа при абсолютном нуле

. (4.40)