Электронный газ металла и полупроводника

В узлах кристаллической решетки металла находятся положительные ионы. Волновые функции валентных электронов разных атомов перекрываются. В результате валентные электроны свободно перемещаются по кристаллу, образуя идеальный газ квазичастиц, характеризующихся эффективной массой. Межатомное взаимодействие приводит к расщеплению валентного уровня на множество подуровней, образующих зону с квазинепрерывным спектром. При отсутствии магнитного поля на каждом подуровне могут быть 0, 1 или 2 электрона, отличающиеся проекциями спина.

Трехмерный электронный газ

Распределение электронов по энергии. В единице объема, в единичном интервале энергии около значения , находится число электронов

.

Плотность состояний в единице объема (3.8а)

,

и распределение Ферми

дают

. (4.21)

Площадь под кривой равна концентрации электронов.

Энергия, импульс и температура Ферми. При получаем

, , ,

.

Энергия Ферми, т. е. наибольшая энергия электрона при абсолютном нуле температуры:

, (4.22)

плотность состояний на уровне Ферми

. (4.23)

Для типичного металла постоянная решетки , концентрация энергия Ферми и плотность состояний

, .

Импульс Ферми, соответствующий энергии Ферми, равен наибольшему импульсу электронов при абсолютном нуле температуры

. (4.24)

Принцип Паули препятствует размещению частиц в области фазового пространства с малыми значениями импульса, которая уже занята другими частицами, поэтому p_F увеличивается с ростом концентрации частиц.

Если бы принцип Паули перестал действовать, то для получения энергии Ферми потребовалась бы температура, называемая температурой Ферми:

. (4.25)

Сравнивая ее с критической температурой вырождения (4.19), получаем

.

Для металлов первой группы таблицы Менделеева

Металл	n, 10^22см^–3	m/m0	F, эВ	TF, 10^4К
Na Cs Cu Ag	2,5 0,91 8,45 5,85	1,0 0,98 0,99 1,01	3,24 1,58 7,00 5,48	3,77 1,83 8,12 6,36

Поверхность Ферми является изоэнергетической поверхностью

в пространстве вектора импульса, ограничивающая при область состояний, занятых электронами. Для свободного электронного газа это сфера радиусом

с центром в точке р = 0. Приблизительно такую форму имеет поверхность Ферми щелочных металлов Na, K, Rb, Cs, у которых достаточно велико расстояние от сферы Ферми до первой зоны Бриллюэна. В общем случае поверхность Ферми в кристалле имеет сложную многосвязную форму. Это вызвано дифракцией и интерференцией волны де Бройля в кристаллической решетке.

Внешнее электрическое поле E, направленное вдоль оси x, ускоряет электроны, что соответствует их движению в импульсном пространстве. В результате поверхность Ферми смещается. Рассеяние электронов на примесях и дефектах кристаллической решетки изменяет их импульсы. Электроны с максимальным импульсом p_x перебрасываются в свободные ячейки импульсного пространства, находящиеся около поверхности Ферми. В результате электрическое поле не изменяет радиуса сферы Ферми, но сдвигает ее центр на p_x. Согласно второму закону Ньютона,

,

где  – время релаксации импульса; l_F – длина свободного пробега электрона на уровне Ферми, движущегося со скоростью v_F. Вызванная полем плотность тока равна

,

где – удельная электропроводность.