Правило сложения дисперсий для доли признака

Правило сложения дисперсий доли признака: общая дисперсия равна сумме средней из внутригрупповых дисперсий и межгрупповой.

где

- общая дисперсия ;

- групповая дисперсия доли признака ;

- средняя из групповых дисперсий, т.е. внутригрупповая дисперсия ;

- межгрупповая дисперсия ;

- доля изучаемого признака во всей совокупности (определяется по формуле средней арифметической взвешенной) ;

n_i – численность единиц в отдельных группах.

Пример 22. Определить дисперсию доли сотрудников с высшим образованием по данным, представленным в таблице 32.

Таблица 6. Сведения о сотрудниках с высшим образованием

Номер магазина	Число сотрудников, чел ni	Число сотрудников с высшим образованием
		в %	в долях, pi
1	43	40,2	0,402
2	47	43,5	0,435
3	90	55,7	0,557
4	36	35,4	0,354
5	150	70,8	0,708
6	90	57,6	0,576
7	34	29,1	0,291
Итого	490

1 способ – найти среднюю долю сотрудников с высшим образованием по всем магазинам, а затем дисперсию этой доли.

Средняя доля сотрудников с высшим образованием по всем магазинам:

(0,40243 + 0,43547 + 0,55790 + 0,35436 + 0,708150 +

+ 0,57690 + 0,29134) / 490 = 0,548 (или 54,8%)

Общая дисперсия этой доли:

0,248

2 способ – найти среднюю из внутригрупповых дисперсий и межгрупповую дисперсию, а затем их сложить.

Групповые дисперсии для всех магазинов:

0,240

0,246

0,247

0,229

0,207

0,244

0,206

Средняя дисперсия из групповых:

(0,24043 + 0,24647 + 0,24790 + 0,22936 +

+ 0,207150 + 0,24490 + 0,20634) / 490 = 0,229

Межгрупповая дисперсия:

[(0,402 - 0,548)²43 + (0,435 - 0,548)²47 + (0,557 - 0,548)²90 +

+ (0,354 - 0,548)²36 + (0,708 - 0,548)²150 + (0,576 - 0,548)²90 +

+ (0,291 - 0,548)²34] / 490 = 0,018

Общая дисперсия по правилу сложения дисперсий:

0,248

Оба способа дали одинаковый результат.

Показатели дифференциации и концентрации Показатели дифференциации

Квантили или градиенты – такие значения признака, которые делят все единицы распределения на равные численности.

К частным случаям квантилей относятся

• квартили,

• квинтили,

• децили.

Квартили – значения признака, делящие распределение на четыре равные части. Если обозначить значения x_i, делящие вариационный ряд на четыре равные части Q₁, Q₂ и Q₃ так, что ниже Q₁ лежит ¼ значений x_i, ниже Q₂ лежит ½ значений, а ниже Q₃ ¾ значений, то Q₁ называется нижним квартилем, Q₂ называется медианой, а Q₃ называется верхним квартилем.

	Q3 – третий квартиль (верхний квартиль)
	Q2 – второй квартиль (медиана)
	Q1 – первый квартиль (нижний квартиль)

Квинтили - значения признака, делящие распределение на пять равных частей.

Децили (De) – значения признака, делящие распределение на десять равных частей.

В дискретном ряду децили находятся на основе накопленных частот. Номер k-го дециля равен k/10 части суммы всех частот. Частоты накапливаются до тех пор, пока не будет превзойдён номер дециля. Дециль равняется частоте, соответствующей номеру дециля.

В интервальном ряду сначала находится интервал, содержащий первый дециль. Номер k-го дециля равен или . По номеру определяется интервал, которому этот номер принадлежит. Затем k-й дециль вычисляется по формуле:

где

x_k-1 – нижняя граница интервала, содержащего k-й дециль;

h_k – длина интервала, содержащего k-й дециль;

F_k-1 – накопленная частота интервала, предшествующему интервалу, содержащему k-й дециль;

m_k – частота интервала, содержащего k-й дециль;

P_k-1 – накопленная частость интервала, предшествующему интервалу, содержащему k-й дециль.

Квантили и квартили вычисляются аналогичным образом.

При изучении дифференциации доходов применяется децильный коэффициент (K_д), представляющий собой отношение девятого дециля к первому децилю. Таким образом измеряется соотношение уровней доходов 10% наиболее обеспеченного и 10% наименее обеспеченного населения.

Пример 23. Определить децильный коэффициент.

Возрастные группы сотрудников, лет xi	Число сотрудников, чел mi	Накопленные частоты
20 – 30	11	11
30 – 40	33	44
40 – 50	22	66
50 – 60	15	81
60 – 70	4	85
Итого	85

Номер первого дециля равен

Интервал первого дециля 20 - 30.

Номер девятого дециля равен

Интервал девятого дециля 50 - 60.

Полученный коэффициент показывает, что уровень дифференциации достаточно низкий.