Критерий согласия Романовского

Критерий Романовского Kp использует критерий Пирсона и степени свободы:

где

- найденное расчётное значение критерия Пирсона;

v – число степеней свободы.

Если Kp < 3, то расхождения между теоретическим и эмпирическим распределением случайны. Если Kp > 3, то расхождения не случайны и теоретическое распределение не может служить моделью для изучаемого эмпирического распределения.

Критерий Романовского удобно использовать, когда нет таблиц для ².

Критерий согласия Колмогорова

Критерий Колмогорова :

или

где

D – максимальная разность между эмпирическими и теоретическими накопленными частотами;

d – максимальная разность между эмпирическими и теоретическими накопленными частостями;

N - число единиц в совокупности.

После вычисления значения  по таблице P() определяется вероятность того, что отклонения эмпирических частот от теоретических случайны.

Значение функции P()

	P			P
≤ 0,30	1,0000		1,10	0,1777
0,35	0,9997		1,20	0,1122
0,40	0,9972		1,30	0,0681
0,45	0,9874		1,40	0,0397
0,50	0,9639		1,50	0,0222
0,55	0,9228		1,60	0,0120
0,60	0,8643		1,70	0,0062
0,65	0,7920		1,80	0,0032
0,70	0,7112		1,90	0,0015
0,75	0,6272		2,00	0,0007
0,80	0,5441		2,10	0,0003
0,85	0,4653		2,20	0,0001
0,90	0,3927		2,30	0,0001
0,95	0,3275		≥ 2,40	0,0000
1,00	0,2700

Если P() = 1, то полное совпадение, а если P() = 0, то полное расхождение.

Основным условием использования критерия Колмогорова является достаточно большое число наблюдений.

Пример 25. Для данных таблицы найти коэффициент асимметрии и нормированные моменты третьего и четвёртого порядка.

Величина всходов, см xi	Количество всходов, шт mi	Середина интервала, см xiср	ximi
0 - 5	9	2,5	22,5	4029,71	-85268,67	1804285,1
5 – 10	16	7,5	120	4178,33	-67521,81	1091152,39
10 – 15	29	12,5	362,5	3611,82	-40307,94	449836,59
15 – 20	42	17,5	735	1593,72	-9817,29	60474,48
20 – 25	49	22,5	1102,5	65,93	-76,48	88,72
25 – 30	43	27,5	1182,5	634,06	2434,79	9349,61
30 – 35	33	32,5	1072,5	2578,8	22796,63	201522,25
35 – 40	21	37,5	787,5	4022,46	55670,81	770484,05
40 – 45	13	42,5	552,5	4614,29	86933,28	1637822,93
45 - 50	4	47,5	190	2273,38	54197,44	1292066,88
Итого	259		6127,5	27602,5	19040,77	7317083,00

Средняя арифметическая:

см

Среднее квадратическое отклонение

см

Центральный момент третьего порядка:

74,06

Нормированный момент третьего порядка:

0,07

Нормированный момент третьего порядка (коэффициент асимметрии) >0. Следовательно, асимметрия положительная и имеет место правосторонняя скошенность, т.е. всходов, имеющих размер больше 15 см больше, чем всходов, имеющих размер меньше 10 см.

Модальный интервал 20 – 25, т.к. ему соответствует максимальная частота 49.

Мода:

Коэффициент асимметрии Пирсона:

Коэффициент асимметрии Пирсона также положительный. Это является доказательством того, что скошенность правосторонняя.

Центральный момент четвёртого порядка:

Нормированный момент четвёртого порядка:

Эксцесс распределения:

Эксцесс распределения отрицательный, поэтому распределение низковершинное.

Пример 26 (Нормальное распределение). Рассчитать теоретические частоты ряда распределения на основе данных, представленных в таблице.

Величина всходов, см xi	Количество всходов, шт mi	Середина интервала, см xiср	ximi
0 - 5	9	2,5	22,5	4029,71	2,05	0,05	6
5 – 10	16	7,5	120	4178,33	1,57	0,12	15
10 – 15	29	12,5	362,5	3611,82	1,08	0,22	28
15 – 20	42	17,5	735	1593,72	0,60	0,33	42
20 – 25	49	22,5	1102,5	65,93	0,11	0,4	50
25 – 30	43	27,5	1182,5	634,06	0,37	0,37	47
30 – 35	33	32,5	1072,5	2578,80	0,86	0,28	35
35 – 40	21	37,5	787,5	4022,46	1,34	0,16	20
40 – 45	13	42,5	552,5	4614,29	1,83	0,08	9
45 - 50	4	47,5	190	2273,38	2,31	0,03	3
Итого	259		6127,5	27602,51

Средняя арифметическая:

см

Среднее квадратическое отклонение

см

При сравнении на графике эмпирических m и теоретических m’ частот видна их близость.

Пример 27 (Распределение Пуассона). В таблице представлены данные о наличии дефектов на выпущенных изделиях пробной партии изделий. Выровнять полученный ряд по кривой Пуассона.

Количество дефектов, шт xi	Количество изделий, шт mi	ximi
0	220	0	101,73	212
1	130	130	13,31	145
2	56	112	97,57	49
3	9	27	48,44	11
4	3	12	33,07	2
5	1	5	18,66	0
Итого	419	286	312,78	419

Полученные теоретические частоты удобно округлить до целых.

Пример 28. Используя данные таблицы проверить правильность выдвинутой гипотезы о распределении всходов по закону нормального распределения.

Величина всходов, см xi	Частоты			Накопленные частоты
	mi			Fi
0 - 5	9	6	1,50	9	6	3
5 – 10	16	15	0,07	25	21	4
10 – 15	29	28	0,04	54	49	5
15 – 20	42	42	0,00	96	91	5
20 – 25	49	50	0,02	145	141	4
25 – 30	43	47	0,34	188	188	0
30 – 35	33	35	0,11	221	223	2
35 – 40	21	20	0,05	242	243	1
40 – 45	13	9	1,78	255	252	3
45 - 50	4	3	0,33	259	255	4
Итого	259		4,24

При табличное значение вероятности P() очень близко к 1. Следовательно, и этот критерий гипотезу подтверждает.

Все использованные критерии подтвердили правильность выдвинутой гипотезы о распределении всходов по закону нормального распределения.

Пример 29. Используя данные таблицы проверить правильность выдвинутой гипотезы о распределении дефектов на выпущенных изделиях закону Пуассона.

Количество дефектов, шт. xi	Частоты			Накопленные частоты
	mi			Fi
0	220	212	0,32	220	212	8
1	130	145	1,46	350	356	6
2	56	49	0,90	406	406	0
3	9	11	0,44	415	417	2
4	3	2	0,61	418	419	1
5	1	0	2,09	419	419	0
Итого	419	419	5,83

Расчётное значение критерия Пирсона:

Число степеней свободы:

Табличное значение Критерия Пирсона при  = 0,05 и :

Следовательно, с вероятностью 0,95 можно утверждать, что расхождение между теоретическими и эмпирическими частотами случайно.

Критерий Романовского:

Kp < 3, что также подтверждает верность гипотезы.

Критерий Колмогорова:

При табличное значение вероятности P() близко к 1. Следовательно, и этот критерий гипотезу подтверждает.

Все использованные критерии подтвердили правильность выдвинутой гипотезы о распределении дефектов на выпущенных изделиях по закону нормального распределения.